MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 323

Suma dziewięciu ocen jest równa $9\cdot4=36$. Z treści zadania otrzymujemy

$$5+2+3+x+5+(x+1)+5+3+2=36,$$

czyli

$$2x+26=36, \qquad 2x=10, \qquad x=5.$$

Po podstawieniu i uporządkowaniu oceny mają postać

$$2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 6.$$

Środkowa, piąta ocena jest równa $5$, więc mediana wynosi $5$. Najczęściej, bo cztery razy, występuje również ocena $5$, zatem dominanta jest równa $5$.

Wynik ważony kandydata $Y$ wynosi

$$0{,}5\cdot40+0{,}2\cdot50+0{,}3\cdot60=48,$$

a wynik kandydata $Z$:

$$0{,}5\cdot60+0{,}2\cdot40+0{,}3\cdot50=53.$$

Wynik kandydata $X$ ma postać

$$0{,}5x+0{,}2\cdot40+0{,}3\cdot60=0{,}5x+26.$$

Kandydat $X$ uzyskał wynik lepszy od $Y$, ale gorszy od $Z$, więc

$$48<0{,}5x+26<53.$$

Po odjęciu $26$ i pomnożeniu przez $2$ dostajemy

$$44<x<54.$$

Liczba punktów jest całkowita, dlatego $x$ może być dowolną liczbą całkowitą od $45$ do $53$.

Oznaczmy sumy ocen w grupach $A$, $B$ i $C$ odpowiednio przez $S_A,S_B,S_C$. Z podanych średnich otrzymujemy

$$S_A+S_B=18\cdot4=72,$$ $$S_B+S_C=16\cdot3=48$$

oraz

$$S_A+S_B+S_C=24\cdot3{,}5=84.$$

Porównanie pierwszego i trzeciego równania daje

$$S_C=84-72=12.$$

Następnie

$$S_B=48-12=36, \qquad S_A=72-36=36.$$

Średnie w poszczególnych grupach wynoszą zatem

$$\bar{x}_A=\frac{36}{8}=4{,}5, \qquad \bar{x}_B=\frac{36}{10}=3{,}6, \qquad \bar{x}_C=\frac{12}{6}=2.$$

Najpierw obliczamy średnie wynagrodzenie wszystkich $50$ pracowników:

$$\bar{x} =\frac{20\cdot4000+15\cdot3600+15\cdot4400}{50} =\frac{200\,000}{50}=4000\ \text{zł}.$$

Dla każdej grupy suma kwadratów odchyleń od średniej całej populacji jest równa

$$n\left(\sigma^2+(\bar{x}_{\text{grupy}}-\bar{x})^2\right).$$

Ponieważ odchylenie standardowe w całej firmie wynosi $600$ zł, mamy

$$\begin{aligned} 50\cdot600^2={}&20\left(400^2+(4000-4000)^2\right)\\ &+15\left(500^2+(3600-4000)^2\right)\\ &+15\left(\sigma_3^2+(4400-4000)^2\right). \end{aligned}$$

Po wykonaniu działań:

$$18\,000\,000=11\,750\,000+15\sigma_3^2,$$

więc

$$\sigma_3^2=\frac{6\,250\,000}{15} =\frac{1\,250\,000}{3}.$$

Stąd

$$\sigma_3=\sqrt{\frac{1\,250\,000}{3}} =\frac{500\sqrt{15}}{3}\ \text{zł} \approx645{,}5\ \text{zł}.$$

Po przybyciu dwóch samic w fokarium jest $14$ fok. Łączna masa wszystkich zwierząt wynosi

$$8\cdot250+4\cdot150+2\cdot170=2940\ \text{kg},$$

więc nowa średnia jest równa

$$\bar{x}=\frac{2940}{14}=210\ \text{kg}.$$

Dla grupy o liczebności $n$, średniej $\bar{x}$ i wariancji $\sigma^2$ suma kwadratów wartości jest równa $n(\sigma^2+\bar{x}^2)$. Zatem suma kwadratów mas ośmiu samców wynosi

$$8(50^2+250^2)=520\,000,$$

a czterech pierwotnie przebywających w fokarium samic

$$4(30^2+150^2)=93\,600.$$

Dwie nowe samice wnoszą do tej sumy

$$2\cdot170^2=57\,800.$$

Suma kwadratów mas wszystkich fok jest więc równa $671\,400$. Wariancję obliczamy ze wzoru $\sigma^2=\overline{x^2}-\bar{x}^2$:

$$\sigma^2 =\frac{671\,400}{14}-210^2 =\frac{27\,000}{7}.$$

Stąd

$$\sigma=\sqrt{\frac{27\,000}{7}} =30\sqrt{\frac{30}{7}}\ \text{kg} \approx62{,}11\ \text{kg}.$$