MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 320

Z diagramu odczytujemy: $40\%$ uczniów czyta przez $0{,}5$ h, $30\%$ przez $1$ h, $20\%$ przez $1{,}5$ h, a $10\%$ przez $2$ h dziennie.

Najpierw obliczamy średnią:

$$\bar{x}=0{,}4\cdot0{,}5+0{,}3\cdot1+0{,}2\cdot1{,}5+0{,}1\cdot2=1\ \text{h}.$$

Średnia kwadratów wyników wynosi

$$0{,}4\cdot0{,}5^2+0{,}3\cdot1^2+0{,}2\cdot1{,}5^2+0{,}1\cdot2^2 =1{,}25\ \text{h}^2.$$

Zatem wariancja jest równa

$$\sigma^2=1{,}25-1^2=0{,}25\ \text{h}^2,$$

a odchylenie standardowe:

$$\sigma=\sqrt{0{,}25}=0{,}5\ \text{h}.$$

a) Średnia i wariancja mają postać

$$\bar{x}=\frac{a+13}{6},$$ $$\sigma^2=\frac{a^2+47}{6}-\left(\frac{a+13}{6}\right)^2.$$

Z warunku $\bar{x}=\sigma^2$ otrzymujemy

$$\frac{a^2+47}{6}-\frac{(a+13)^2}{36}=\frac{a+13}{6}.$$

Po pomnożeniu przez $36$ i uporządkowaniu:

$$5a^2-32a+35=0.$$

Ponieważ $\Delta=32^2-4\cdot5\cdot35=324$, mamy

$$a=\frac{32-18}{10}=1{,}4 \quad\text{lub}\quad a=\frac{32+18}{10}=5.$$

b) Z warunku dotyczącego średniej:

$$7+3+x+y+8+5+6=7\cdot5,$$

czyli

$$x+y=6.$$

Odchylenie standardowe jest równe $2$, więc wariancja wynosi $4$. Stąd suma kwadratów odchyleń od średniej $5$ jest równa $7\cdot4=28$:

$$4+4+(x-5)^2+(y-5)^2+9+0+1=28.$$

Zatem

$$(x-5)^2+(y-5)^2=10.$$

Po wykorzystaniu $x+y=6$ dostajemy $x^2+y^2=20$, a następnie

$$36=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=20+2xy,$$

więc $xy=8$. Liczby $x$ i $y$ są pierwiastkami równania

$$t^2-6t+8=0,$$

czyli są równe $2$ i $4$. Warunek $x<y$ wyznacza ich kolejność.

Zmiana każdej z trzech ocen z $1$ na $2$ zwiększa sumę ocen o $1$. Łączny wzrost sumy ocen wynosi więc $3$.

W grupie I jest $12$ uczniów, zatem wzrost średniej w tej grupie to

$$\frac{3}{12}=0{,}25.$$

W całej klasie jest

$$12+8+10=30$$

uczniów, więc jej średnia wzrosłaby o

$$\frac{3}{30}=0{,}1.$$

Dla leku $X$ liczba mężczyzn, u których lek był skuteczny, wynosi

$$0{,}40\cdot300=120.$$

Łącznie lek zadziałał więc u $30+120=150$ z $500$ osób, czyli u $30\%$ badanych.

Dla leku $Y$ łącznie odnotowano $80+45=125$ skutecznych kuracji. Stanowią one $25\%$ całej grupy, zatem grupa liczyła

$$\frac{125}{0{,}25}=500$$

osób. Mężczyzn było więc $500-400=100$. Skuteczność wśród kobiet wyniosła $80/400=20\%$, a wśród mężczyzn $45/100=45\%$.

W całych grupach lek $X$ ma większą skuteczność: $30\%$ wobec $25\%$. Jednak po osobnym porównaniu kobiet i mężczyzn skuteczniejszy jest lek $Y$: odpowiednio $20\%>15\%$ i $45\%>40\%$. Grupy mają różne proporcje kobiet i mężczyzn, dlatego bez ustalenia sposobu porównania nie można jednoznacznie wskazać skuteczniejszego leku.