MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 319

Z warunku $\frac{a+b+c+d}{4}=8$ wynika, że

$$a+b+c+d=32.$$

A. Po dopisaniu zera średnia wynosi

$$\frac{32+0}{5}=6{,}4,$$

więc zdanie A jest fałszywe.

B. Po dopisaniu liczby $13$ otrzymujemy

$$\frac{32+13}{5}=9,$$

zatem zdanie B jest prawdziwe.

C. Każda z czterech liczb występuje dwukrotnie, więc

$$\frac{2(a+b+c+d)}{8}=\frac{2\cdot32}{8}=8.$$

Zdanie C jest fałszywe.

Ze skanu odczytujemy liczebności dla dziewcząt:

$$162:2,\ 163:1,\ 165:1,\ 167:1,\ 168:3,\ 171:2,\ 172:1,$$

a dla chłopców:

$$160:1,\ 162:1,\ 163:4,\ 165:2,\ 168:5,\ 170:5,\ 173:1.$$

a) Dziewcząt jest $11$, a suma ich wzrostów wynosi

$$2\cdot162+163+165+167+3\cdot168+2\cdot171+172=1837\ \text{cm}.$$

Ich średni wzrost to $1837/11=167$ cm. Wyższe niż $167$ cm są dziewczęta o wzroście $168$, $171$ i $172$ cm, czyli

$$3+2+1=6\ \text{dziewcząt}.$$

b) Chłopców jest $19$, a suma ich wzrostów wynosi $3167$ cm. W całej klasie jest więc $30$ osób o łącznym wzroście $1837+3167=5004$ cm, zatem

$$\bar{x}_{\text{klasy}}=\frac{5004}{30}=166{,}8\ \text{cm}.$$

Wyższych niż $166{,}8$ cm jest $5+5+1=11$ chłopców o wzroście odpowiednio $168$, $170$ i $173$ cm.

Z diagramu odczytujemy rozkład: ocena $2$ — $10\%$, ocena $3$ — $25\%$, ocena $4$ — $40\%$, ocena $5$ — $20\%$, ocena $6$ — $5\%$.

Średnia wynosi

$$\bar{x}=0{,}10\cdot2+0{,}25\cdot3+0{,}40\cdot4+0{,}20\cdot5+0{,}05\cdot6 =3{,}85.$$

Średnia kwadratów ocen jest równa

$$0{,}10\cdot2^2+0{,}25\cdot3^2+0{,}40\cdot4^2+0{,}20\cdot5^2+0{,}05\cdot6^2 =15{,}85.$$

Zatem

$$\sigma^2=15{,}85-3{,}85^2=1{,}0275,$$ $$\sigma=\sqrt{1{,}0275}\approx1{,}01.$$

a) Suma wag wynosi $5+1+2+3=11$, zatem

$$\bar{x}_w=\frac{2\cdot5+9\cdot1+6\cdot2+8\cdot3}{11} =\frac{55}{11}=5.$$

b) Suma wag jest równa $0{,}1+1{,}1+0{,}3+0{,}5=2$, więc

$$\bar{x}_w=\frac{5\cdot0{,}1+10\cdot1{,}1+12\cdot0{,}3+20\cdot0{,}5}{2} =\frac{25{,}1}{2}=12{,}55.$$

Ponieważ suma wag wynosi $1$, wystarczy obliczyć $0{,}4$ oceny z pierwszego semestru i $0{,}6$ oceny z drugiego semestru, a następnie zaokrąglić wynik:

$$\begin{aligned} A:&\quad 0{,}4\cdot5+0{,}6\cdot6=5{,}6\approx6,\\ B:&\quad 0{,}4\cdot6+0{,}6\cdot5=5{,}4\approx5,\\ C:&\quad 0{,}4\cdot3+0{,}6\cdot5=4{,}2\approx4,\\ D:&\quad 0{,}4\cdot2+0{,}6\cdot5=3{,}8\approx4,\\ E:&\quad 0{,}4\cdot5+0{,}6\cdot2=3{,}2\approx3. \end{aligned}$$