MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 318

a) Po uporządkowaniu danych otrzymujemy

$$2,3,3,4,4,4,5,5.$$

Zatem

$$\bar{x}=\frac{30}{8}=3{,}75, \qquad M=\frac{4+4}{2}=4, \qquad D=4.$$

b) Uporządkowany zestaw ma postać

$$7,8,9,9,9,12,12,20,94.$$

Stąd

$$\bar{x}=\frac{180}{9}=20, \qquad M=9, \qquad D=9.$$

c) Po uporządkowaniu:

$$1,1,3,4,6,6,8,8,8.$$

Otrzymujemy

$$\bar{x}=\frac{45}{9}=5, \qquad M=6, \qquad D=8.$$

d) Uporządkowane dane to

$$4,4,5,7,13,15,16,16.$$

Zatem

$$\bar{x}=\frac{80}{8}=10, \qquad M=\frac{7+13}{2}=10.$$

Najczęściej występują dwie liczby: $4$ i $16$, więc zestaw ma dwie dominanty.

Średnią w każdej grupie obliczamy jako średnią ważoną, przyjmując liczby studentów jako wagi.

W grupie I jest $3+6+5+3+3+2=22$ studentów, a suma ich ocen wynosi

$$3\cdot2+6\cdot3+5\cdot3{,}5+3\cdot4+3\cdot4{,}5+2\cdot5=77.$$

Zatem

$$\bar{x}_I=\frac{77}{22}=3{,}5.$$

W grupie II jest $0+3+4+6+4+3=20$ studentów. Suma ocen to

$$0\cdot2+3\cdot3+4\cdot3{,}5+6\cdot4+4\cdot4{,}5+3\cdot5=80,$$

więc

$$\bar{x}_{II}=\frac{80}{20}=4.$$

Suma długości tras wynosi

$$26+34+40+44+45+37+26=252\ \text{km},$$

więc średnia długość trasy to

$$\bar{x}=\frac{252}{7}=36\ \text{km}.$$

Odchylenia od średniej są równe $-10,-2,4,8,9,1,-10$, a suma ich kwadratów wynosi

$$100+4+16+64+81+1+100=366.$$

Zatem odchylenie standardowe jest równe

$$\sigma=\sqrt{\frac{366}{7}}\ \text{km}\approx7{,}23\ \text{km}.$$

Suma wag wynosi

$$3500+3100+2850+3300+3550+4700=21000\ \text{g},$$

zatem

$$\bar{x}=\frac{21000}{6}=3500\ \text{g}.$$

Odchylenia od średniej to $0,-400,-650,-200,50,1200$. Suma ich kwadratów wynosi

$$0^2+(-400)^2+(-650)^2+(-200)^2+50^2+1200^2=2065000.$$

Stąd

$$\sigma=\sqrt{\frac{2065000}{6}}\ \text{g} \approx586{,}66\ \text{g}.$$

Ze skanu odczytujemy następujące liczebności:

Klasa IIIa. Jest w niej $21$ uczniów, a łączny czas wynosi

$$4\cdot0{,}5+8\cdot1+6\cdot2+2\cdot3+1\cdot3{,}5=31{,}5\ \text{h}.$$

Zatem $\bar{x}_a=31{,}5/21=1{,}5$ h. Jedenasta obserwacja w szeregu uporządkowanym jest równa $1$ h, a najliczniejsza grupa ośmiu uczniów wskazała $1$ h. Stąd $M_a=D_a=1$ h.

Klasa IIIb. Jest w niej $20$ uczniów, a łączny czas to

$$3\cdot0{,}5+4\cdot1+6\cdot1{,}5+5\cdot2+2\cdot2{,}5=29{,}5\ \text{h}.$$

Otrzymujemy $\bar{x}_b=29{,}5/20=1{,}475$ h. Dziesiąta i jedenasta obserwacja mają wartość $1{,}5$ h, która występuje także najczęściej, więc $M_b=D_b=1{,}5$ h.

Obie klasy. Po połączeniu danych liczebności dla czasów $0{,}5;1;1{,}5;2;2{,}5;3;3{,}5$ h wynoszą odpowiednio $7;12;6;11;2;2;1$. Łącznie jest $41$ uczniów i $31{,}5+29{,}5=61$ h, zatem

$$\bar{x}=\frac{61}{41}\ \text{h}\approx1{,}49\ \text{h}.$$

Dwudziesta pierwsza obserwacja ma wartość $1{,}5$ h, a najczęściej, $12$ razy, występuje wartość $1$ h. Stąd $M=1{,}5$ h i $D=1$ h.