MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 317

Korzystamy z podanych w podręczniku przybliżeń: w przedziale jednego odchylenia standardowego od średniej leży około $68{,}3\%$ danych, a w przedziale dwóch odchyleń — około $95{,}6\%$. Rozkład normalny jest symetryczny.

a) Końce przedziału są równe

$$100-15=85, \qquad 100+15=115,$$

więc jest to przedział $(\overline{x}-\sigma;\overline{x}+\sigma)$. Szacowana liczba osób wynosi

$$0{,}683\cdot500=341{,}5\approx342.$$

b) Poza przedziałem jednego odchylenia leży łącznie około

$$100\%-68{,}3\%=31{,}7\%$$

wyników. Połowa z nich leży powyżej $115$, zatem

$$\frac{31{,}7\%}{2}=15{,}85\%,$$

a liczba osób jest w przybliżeniu równa

$$0{,}1585\cdot500=79{,}25\approx79.$$

c) Liczba $130$ jest o dwa odchylenia standardowe większa od średniej:

$$130=100+2\cdot15.$$

Poza przedziałem dwóch odchyleń leży około $4{,}4\%$ wyników, czyli powyżej jego prawego końca około $2{,}2\%$. Stąd

$$0{,}022\cdot500=11.$$

Wartość $171$ cm jest o jedno odchylenie standardowe mniejsza od średniej:

$$171=177-6=\overline{x}-\sigma.$$

W przedziale $(\overline{x}-\sigma;\overline{x}+\sigma)$ leży około $68{,}3\%$ danych. Z symetrii rozkładu poniżej wartości $\overline{x}-\sigma$ leży około

$$\frac{100\%-68{,}3\%}{2}=15{,}85\%$$

uczniów. Powyżej $171$ cm ma zatem wzrost około

$$100\%-15{,}85\%=84{,}15\%$$

uczniów. Odpowiada to liczbie

$$0{,}8415\cdot200=168{,}3\approx168.$$

Wynik $1400$ godzin jest o dwa odchylenia standardowe mniejszy od średniej:

$$1400=2000-2\cdot300=\overline{x}-2\sigma.$$

W przedziale dwóch odchyleń od średniej leży około $95{,}6\%$ danych. Z symetrii rozkładu w lewym ogonie pozostaje więc około

$$\frac{100\%-95{,}6\%}{2}=2{,}2\%$$

żarówek. Ich szacowana liczba wynosi

$$0{,}022\cdot20\,000=440.$$

Z kolei

$$1100=2000-3\cdot300=\overline{x}-3\sigma.$$

Reguła trzech sigm mówi, że w przedziale trzech odchyleń od średniej leży około $99{,}7\%$ danych. Na lewy ogon przypada zatem około

$$\frac{100\%-99{,}7\%}{2}=0{,}15\%,$$

czyli

$$0{,}0015\cdot20\,000=30$$

żarówek.