MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 316

Średnią ważoną obliczamy ze wzoru

$$\overline{x}_w=\frac{w_1x_1+\ldots+w_nx_n}{w_1+\ldots+w_n}.$$

a) Suma wag jest równa $1$, zatem

$$\overline{x}_w =\frac{0{,}1\cdot11+0{,}3\cdot12+0{,}6\cdot13}{0{,}1+0{,}3+0{,}6} =\frac{1{,}1+3{,}6+7{,}8}{1}=12{,}5.$$

b) Tym razem suma wag wynosi $1{,}6$. Otrzymujemy

$$\overline{x}_w =\frac{0{,}8\cdot3+0{,}1\cdot5+0{,}4\cdot8+0{,}3\cdot11} {0{,}8+0{,}1+0{,}4+0{,}3} =\frac{9{,}4}{1{,}6}=5{,}875.$$

Suma wag etapów wynosi

$$0{,}2+0{,}8+0{,}4+0{,}6=2.$$

Obliczamy wyniki finalistów:

$$\begin{aligned} \overline{x}_{A} &=\frac{0{,}2\cdot10+0{,}8\cdot5+0{,}4\cdot8+0{,}6\cdot7}{2} =\frac{13{,}4}{2}=6{,}7,\\ \overline{x}_{M} &=\frac{0{,}2\cdot5+0{,}8\cdot8+0{,}4\cdot6+0{,}6\cdot7}{2} =\frac{14}{2}=7,\\ \overline{x}_{P} &=\frac{0{,}2\cdot9+0{,}8\cdot4+0{,}4\cdot10+0{,}6\cdot8}{2} =\frac{13{,}8}{2}=6{,}9. \end{aligned}$$

Największy wynik, równy $7$, uzyskał Marek.

W przykładzie $A$ średnia ważona jest równa

$$\overline{x}_{w,A} =\frac{3x_1+2x_2+5x_3+2x_4}{3+2+5+2} =\frac{3x_1+2x_2+5x_3+2x_4}{12}.$$

W przykładzie $B$ mamy

$$\overline{x}_{w,B} =\frac{0{,}6x_1+0{,}4x_2+x_3+0{,}4x_4}{0{,}6+0{,}4+1+0{,}4}.$$

Mnożąc licznik i mianownik ostatniego ułamka przez $5$, otrzymujemy

$$\overline{x}_{w,B} =\frac{3x_1+2x_2+5x_3+2x_4}{12} =\overline{x}_{w,A}.$$

Wagi w przykładzie $B$ są bowiem pięć razy mniejsze od odpowiednich wag w przykładzie $A$, a wspólne przeskalowanie wszystkich wag nie zmienia średniej ważonej.

a) Z warunku na średnią ważoną otrzymujemy

$$\frac{0{,}3t+0{,}3\cdot4+0{,}9\cdot8}{0{,}3+0{,}3+0{,}9}=6{,}5.$$

Zatem

$$\frac{0{,}3t+8{,}4}{1{,}5}=6{,}5,$$

czyli

$$0{,}3t+8{,}4=9{,}75.$$

Stąd $0{,}3t=1{,}35$, a więc $t=4{,}5$.

b) W tym przypadku

$$\frac{2\cdot15+3\cdot9+3t}{2+3+t}=6{,}5.$$

Po uproszczeniu:

$$57+3t=6{,}5(5+t)=32{,}5+6{,}5t.$$

Zatem $24{,}5=3{,}5t$, skąd $t=7$.

a) Korzystamy z równania

$$\frac{0{,}7\cdot3+0{,}3\cdot9+0{,}1w}{0{,}7+0{,}3+0{,}1}=5.$$

Po uproszczeniu mamy

$$4{,}8+0{,}1w=5\cdot1{,}1=5{,}5.$$

Stąd $0{,}1w=0{,}7$, czyli $w=7$.

b) Tym razem

$$\frac{10w+3\cdot8+5\cdot6+8\cdot2}{w+3+5+8}=5.$$

Zatem

$$10w+70=5(w+16)=5w+80,$$

więc $5w=10$ i $w=2$.

Każda z trzech prac domowych ma wagę $1$, każda z trzech kartkówek wagę $2$, a każda z trzech klasówek wagę $n$. Suma ważona ocen wynosi więc

$$(1+1+1)\cdot1+(3+1+2)\cdot2+(3+6+6)n =15+15n,$$

a suma wszystkich wag jest równa

$$3\cdot1+3\cdot2+3n=9+3n.$$

Średnia ważona Tomka ma zatem postać

$$\overline{x}_w=\frac{15+15n}{9+3n}.$$

a) Dla średniej równej $3$ mamy

$$\frac{15+15n}{9+3n}=3.$$

Stąd $15+15n=27+9n$, czyli $6n=12$ i $n=2$.

b) Dla średniej równej $4$ otrzymujemy

$$\frac{15+15n}{9+3n}=4.$$

Zatem $15+15n=36+12n$, więc $3n=21$ i $n=7$.