MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 313

Dla każdego zestawu korzystamy ze wzorów

$$R=x_{\max}-x_{\min}, \qquad \sigma=\sqrt{\frac{x_1^2+\ldots+x_n^2}{n}-\overline{x}^{\,2}}.$$

a)

• 13 listopada: $\overline{x}=8:8=1$, a suma kwadratów wyników wynosi $80$. Zatem

  $$R=5-(-4)=9^\circ\mathrm C, \qquad \sigma=\sqrt{\frac{80}{8}-1^2}=3^\circ\mathrm C.$$

• 14 listopada: $\overline{x}=16:8=2$, a suma kwadratów wynosi $66$. Stąd

  $$R=5-(-1)=6^\circ\mathrm C, \qquad \sigma=\sqrt{\frac{66}{8}-2^2} =\frac{\sqrt{17}}2^\circ\mathrm C \approx2{,}06^\circ\mathrm C.$$

• 15 listopada: $\overline{x}=56:8=7$, a suma kwadratów wynosi $468$. Otrzymujemy

  $$R=11-2=9^\circ\mathrm C, \qquad \sigma=\sqrt{\frac{468}{8}-7^2} =\sqrt{\frac{19}{2}}^\circ\mathrm C \approx3{,}08^\circ\mathrm C.$$

• 16 listopada: $\overline{x}=56:8=7$, a suma kwadratów wynosi $432$. Zatem

  $$R=10-4=6^\circ\mathrm C, \qquad \sigma=\sqrt{\frac{432}{8}-7^2} =\sqrt5^\circ\mathrm C \approx2{,}24^\circ\mathrm C.$$

b) Dla wszystkich $32$ pomiarów najmniejsza wartość to $-4^\circ\mathrm C$, a największa $11^\circ\mathrm C$, więc

$$R=11-(-4)=15^\circ\mathrm C.$$

Suma wyników wynosi $136$, a suma ich kwadratów $1046$. Średnia wszystkich pomiarów jest równa $\frac{136}{32}=\frac{17}{4}$, stąd

$$\sigma =\sqrt{\frac{1046}{32}-\left(\frac{17}{4}\right)^2} =\sqrt{\frac{117}{8}}^\circ\mathrm C \approx3{,}82^\circ\mathrm C.$$

Niech zmierzone wzrosty $n$ uczniów, wyrażone w centymetrach, będą równe $h_1,h_2,\ldots,h_n$. Najpierw zapisujemy wszystkie pomiary w jednej tabeli i sprawdzamy, czy użyto tej samej jednostki.

Rozstęp danych obliczamy ze wzoru

$$R=h_{\max}-h_{\min}.$$

Następnie wyznaczamy średni wzrost

$$\overline{h}=\frac{h_1+h_2+\ldots+h_n}{n}$$

oraz odchylenie standardowe

$$\sigma =\sqrt{\frac{(h_1-\overline h)^2+(h_2-\overline h)^2+\ldots+ (h_n-\overline h)^2}{n}}.$$

Do wzorów należy podstawić rzeczywiste pomiary uczniów danej klasy. Bez tych danych nie istnieje jeden wspólny wynik liczbowy.

a) Średnia liczb $5$ i $10$ wynosi $7{,}5$. Zatem

$$d=\frac{2{,}5+2{,}5}{2}=2{,}5, \qquad \sigma=\sqrt{\frac{2{,}5^2+2{,}5^2}{2}}=2{,}5.$$

Odchylenia są równe.

b) Średnia liczb $2,4,6,12$ wynosi $6$. Stąd

$$d=\frac{4+2+0+6}{4}=3,$$

natomiast

$$\sigma =\sqrt{\frac{4^2+2^2+0^2+6^2}{4}} =\sqrt{14}\approx3{,}74.$$

Zatem $d<\sigma$.

c) Średnia liczb $2,4,6,8,15$ wynosi $7$. Otrzymujemy

$$d=\frac{5+3+1+1+8}{5} =\frac{18}{5} =3{,}6$$

oraz

$$\sigma =\sqrt{\frac{5^2+3^2+1^2+1^2+8^2}{5}} =\sqrt{20} =2\sqrt5 \approx4{,}47.$$

Także w tym przypadku $d<\sigma$.

Z diagramu odczytujemy następujące liczebności:

$$\begin{array}{c|rrrrrr} \text{liczba oczek} & 1&2&3&4&5&6\\ \hline \text{liczba rzutów} & 4&2&1&3&3&3 \end{array}$$

Łącznie wykonano $4+2+1+3+3+3=16$ rzutów. Suma wyników wynosi

$$4\cdot1+2\cdot2+1\cdot3+3\cdot4+3\cdot5+3\cdot6=56,$$

więc

$$\overline{x}=\frac{56}{16}=3{,}5.$$

Suma ważonych kwadratów odchyleń od średniej jest równa

$$\begin{aligned} &4(1-3{,}5)^2+2(2-3{,}5)^2+(3-3{,}5)^2\\ &\quad+3(4-3{,}5)^2+3(5-3{,}5)^2+3(6-3{,}5)^2 =56. \end{aligned}$$

Zatem

$$\sigma=\sqrt{\frac{56}{16}} =\sqrt{3{,}5} \approx1{,}87.$$

Suma ważonych wartości bezwzględnych odchyleń wynosi

$$4\cdot2{,}5+2\cdot1{,}5+1\cdot0{,}5+ 3\cdot0{,}5+3\cdot1{,}5+3\cdot2{,}5=27.$$

Odchylenie przeciętne jest więc równe

$$d=\frac{27}{16}=1{,}6875.$$