MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 311

W każdym podpunkcie wyznaczamy średnią $\bar{x}$ oraz sumę

$$Q=\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2.$$

Następnie $\sigma^2=\frac{Q}{n}$ i $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$.

Przykładowo w e) suma danych wynosi $54$, więc $\bar{x}=6$, a

$$Q=2(2-6)^2+2(6-6)^2+3(7-6)^2+(8-6)^2+(9-6)^2=48.$$

W f) suma danych wynosi $64$, zatem $\bar{x}=8$, oraz

$$Q=(4-8)^2+(5-8)^2+5(9-8)^2+(10-8)^2=34.$$

Średnia masa zawodników wynosi

$$\bar{x}=\frac{170+190+160+170+180+150}{6}=170\ \text{kg}.$$

Suma kwadratów odchyleń od średniej jest równa

$$0^2+20^2+(-10)^2+0^2+10^2+(-20)^2=1000.$$

Zatem

$$\sigma^2=\frac{1000}{6}=\frac{500}{3}\ \text{kg}^2 \approx166{,}7\ \text{kg}^2$$

oraz

$$\sigma=\sqrt{\frac{500}{3}}\ \text{kg}\approx12{,}9\ \text{kg}.$$

Ze skanu odczytujemy liczebności ocen od $1$ do $6$:

$$2,\ 5,\ 8,\ 8,\ 5,\ 2.$$

Łącznie jest $30$ ocen. Ich średnia wynosi

$$\bar{x}=\frac{2\cdot1+5\cdot2+8\cdot3+8\cdot4+5\cdot5+2\cdot6}{30} =\frac{105}{30}=3{,}5.$$

a) Dzięki symetrii liczebności względem średniej suma kwadratów odchyleń ma postać

$$4\cdot(2{,}5)^2+10\cdot(1{,}5)^2+16\cdot(0{,}5)^2 =\frac{103}{2}.$$

Stąd

$$\sigma^2=\frac{103}{60}, \qquad \sigma=\sqrt{\frac{103}{60}}\approx1{,}31.$$

b) Warunek $|x-\bar{x}|<\sigma$ daje w przybliżeniu przedział

$$(3{,}5-1{,}31;3{,}5+1{,}31)\approx(2{,}19;4{,}81).$$

Należą do niego oceny $3$ i $4$, które otrzymało łącznie

$$8+8=16$$

uczniów.

c) Mamy

$$(\bar{x}-2\sigma;\bar{x}+2\sigma)\approx(0{,}88;6{,}12).$$

W przedziale tym leżą wszystkie oceny od $1$ do $6$, więc warunek spełnia wszystkich $30$ uczniów.

Z diagramu odczytujemy następujące niezerowe liczebności wyników:

$$\begin{array}{c|rrrrrrrr} \text{liczba punktów} & 2&8&10&15&16&17&18&19\\ \hline \text{liczba uczniów} & 1&1&1&5&5&6&6&5 \end{array}$$

Łącznie sprawdzian pisało $30$ uczniów. Średni wynik jest równy

$$\bar{x} =\frac{2+8+10+5\cdot15+5\cdot16+6\cdot17+6\cdot18+5\cdot19}{30} =\frac{480}{30}=16.$$

Suma ważonych kwadratów odchyleń wynosi

$$\begin{aligned} &1(2-16)^2+1(8-16)^2+1(10-16)^2+5(15-16)^2\\ &\quad+5(16-16)^2+6(17-16)^2+6(18-16)^2+5(19-16)^2 =376. \end{aligned}$$

Zatem

$$\sigma^2=\frac{376}{30}=\frac{188}{15}, \qquad \sigma=\sqrt{\frac{188}{15}}\approx3{,}54.$$

a) Przedział jednego odchylenia od średniej ma w przybliżeniu postać

$$(16-3{,}54;16+3{,}54)\approx(12{,}46;19{,}54).$$

Poza nim leżą wyniki $2$, $8$ i $10$, każdy uzyskany przez jedną osobę. Łącznie są to $3$ osoby.

b) Przedział trzech odchyleń ma w przybliżeniu postać

$$(16-3\cdot3{,}54;16+3\cdot3{,}54)\approx(5{,}38;26{,}62).$$

Poza nim leży tylko wynik $2$, uzyskany przez jednego ucznia.

a) Dziewczęta. Średni czas wynosi

$$\bar{x}_d=\frac{60+30+20+10}{4}=30\ \text{min}.$$

Zatem

$$\sigma_d^2 =\frac{(60-30)^2+(30-30)^2+(20-30)^2+(10-30)^2}{4} =\frac{1400}{4}=350\ \text{min}^2$$

oraz

$$\sigma_d=\sqrt{350}\ \text{min}\approx18{,}71\ \text{min}.$$

b) Chłopcy. Mamy

$$\bar{x}_c=\frac{30+35+20+35+25+35}{6}=30\ \text{min}.$$

Suma kwadratów odchyleń jest równa

$$0^2+5^2+(-10)^2+5^2+(-5)^2+5^2=200,$$

więc

$$\sigma_c^2=\frac{200}{6}=\frac{100}{3}=33\frac13\ \text{min}^2$$

i

$$\sigma_c=\sqrt{\frac{100}{3}}\ \text{min}\approx5{,}77\ \text{min}.$$

c) Cała grupa. Suma wszystkich czasów wynosi $120+180=300$, zatem również dla całej grupy $\bar{x}=300:10=30$ min. Ponieważ obie podgrupy mają tę samą średnią, sumujemy obliczone wyżej kwadraty odchyleń:

$$\sigma^2=\frac{1400+200}{10}=160\ \text{min}^2.$$

Stąd

$$\sigma=\sqrt{160}\ \text{min}=4\sqrt{10}\ \text{min} \approx12{,}65\ \text{min}.$$