MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 310

Oba zbiory mają średnią równą $0$. Dla zbioru $X$:

$$\sigma_X^2 =\frac{1^2+(-1)^2+2^2+(-2)^2+3^2+(-3)^2}{6} =\frac{28}{6}=\frac{14}{3},$$

więc

$$\sigma_X=\sqrt{\frac{14}{3}}.$$

Każda liczba zbioru $Y$ jest dziesięciokrotnością odpowiadającej jej liczby ze zbioru $X$. Zatem

$$\sigma_Y^2=100\sigma_X^2=\frac{1400}{3}$$

oraz

$$\sigma_Y=10\sqrt{\frac{14}{3}}=10\sigma_X.$$

Firma $X$. Liczba pracowników wynosi $20$, a średnia płaca

$$\bar{x}_X =\frac{2\cdot3000+16\cdot3500+2\cdot4000}{20} =3500\ \text{zł}.$$

Wariancja jest równa

$$\begin{aligned} \sigma_X^2 &=\frac{2(3000-3500)^2+16(3500-3500)^2+2(4000-3500)^2}{20}\\ &=50\,000\ \text{zł}^2. \end{aligned}$$

Stąd

$$\sigma_X=\sqrt{50\,000}\ \text{zł}\approx223{,}61\ \text{zł}.$$

Firma $Y$. Także tutaj pracuje $20$ osób, a średnia wynosi

$$\bar{x}_Y =\frac{16\cdot3000+2\cdot5000+2\cdot6000}{20} =3500\ \text{zł}.$$

Zatem

$$\begin{aligned} \sigma_Y^2 &=\frac{16(3000-3500)^2+2(5000-3500)^2+2(6000-3500)^2}{20}\\ &=1\,050\,000\ \text{zł}^2, \end{aligned}$$

a więc

$$\sigma_Y=\sqrt{1\,050\,000}\ \text{zł}\approx1024{,}70\ \text{zł}.$$

Łączna liczba pracowników wynosi

$$n=6+5+3+2+4+2+3+2+0+1=28.$$

Średni staż pracy jest równy

$$\begin{aligned} \bar{x} &=\frac{1\cdot6+2\cdot5+3\cdot3+4\cdot2+5\cdot4+6\cdot2 +7\cdot3+8\cdot2+9\cdot0+10\cdot1}{28}\\ &=\frac{112}{28}=4\ \text{lata}. \end{aligned}$$

Suma ważonych kwadratów odchyleń od średniej wynosi

$$\begin{aligned} &6(1-4)^2+5(2-4)^2+3(3-4)^2+2(4-4)^2+4(5-4)^2\\ &\quad+2(6-4)^2+3(7-4)^2+2(8-4)^2+0(9-4)^2+(10-4)^2 =184. \end{aligned}$$

Zatem

$$\sigma^2=\frac{184}{28}=\frac{46}{7}=6\frac47\ \text{lat}^2$$

oraz

$$\sigma=\sqrt{\frac{46}{7}}\ \text{roku}\approx2{,}56\ \text{roku}.$$