MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 309

a) Średnia wynosi $\bar{x}=6$. Zatem

$$\sigma^2=\frac{(4-6)^2+(5-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2}{5} =\frac{10}{5}=2,$$

a więc

$$\sigma=\sqrt2\approx1{,}41.$$

b) Tutaj również $\bar{x}=6$. Otrzymujemy

$$\sigma^2=\frac{(3-6)^2+3(6-6)^2+(9-6)^2}{5} =\frac{18}{5}=3{,}6,$$

czyli

$$\sigma=\sqrt{3{,}6}\approx1{,}90.$$

c) Średnia jest równa

$$\bar{x}=\frac{8+12+13+13+14}{5}=12.$$

Stąd

$$\sigma^2=\frac{(8-12)^2+(12-12)^2+2(13-12)^2+(14-12)^2}{5} =\frac{22}{5}=4{,}4,$$

oraz

$$\sigma=\sqrt{4{,}4}\approx2{,}10.$$

W obu zestawach średnia jest równa $3$:

$$\bar{x}_A=\frac{33}{11}=3, \qquad \bar{x}_B=\frac{27}{9}=3.$$

Dla zestawu $A$ suma kwadratów odchyleń od średniej wynosi

$$3(1-3)^2+2(2-3)^2+(3-3)^2+2(4-3)^2+3(5-3)^2=28,$$

więc

$$\sigma_A^2=\frac{28}{11}, \qquad \sigma_A=\sqrt{\frac{28}{11}}\approx1{,}60.$$

Dla zestawu $B$ otrzymujemy

$$(1-3)^2+2(2-3)^2+3(3-3)^2+2(4-3)^2+(5-3)^2=12,$$

czyli

$$\sigma_B^2=\frac{12}{9}=\frac43, \qquad \sigma_B=\sqrt{\frac43}\approx1{,}15.$$

Ponieważ $\frac{28}{11}>\frac43$, również $\sigma_A>\sigma_B$.

W zestawie $A$ średnia wynosi

$$\bar{x}_A=\frac{1+2\cdot2+3\cdot3+4\cdot4}{10}=3.$$

Wariancja i odchylenie standardowe są równe

$$\sigma_A^2 =\frac{(1-3)^2+2(2-3)^2+3(3-3)^2+4(4-3)^2}{10} =\frac{10}{10}=1,$$ $$\sigma_A=1.$$

Każda liczba zestawu $B$ jest o $10$ większa od odpowiadającej jej liczby zestawu $A$, zatem $\bar{x}_B=13$. Odchylenia od średniej pozostają takie same, ponieważ

$$(x_i+10)-13=x_i-3.$$

Wobec tego

$$\sigma_B^2=1, \qquad \sigma_B=1.$$

Dodanie tej samej stałej do wszystkich danych nie zmienia wariancji ani odchylenia standardowego.