MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 305

Suma dziewięciu znanych liczb wynosi $27$, zatem

$$\bar{x}=\frac{27+c}{10}.$$

a) Liczba $4$ występuje co najmniej cztery razy i jest dominantą niezależnie od wartości $c$. Warunek $\bar{x}=D=4$ daje

$$\frac{27+c}{10}=4,$$

stąd $c=13$.

b) Jeśli $c\leq3$, dwie środkowe liczby uporządkowanego zestawu są równe $3$, więc $M=3$. Równanie

$$\frac{27+c}{10}=3$$

daje $c=3$, zgodne z tym przypadkiem.

Jeśli $3<c<4$, to $M=\frac{3+c}{2}$. Równanie średniej z medianą daje

$$\frac{27+c}{10}=\frac{3+c}{2},$$

czyli $c=3$, co nie należy do tego przedziału.

Jeśli $c\geq4$, środkowe liczby to $3$ i $4$, więc $M=\frac72$. Warunek

$$\frac{27+c}{10}=\frac72$$

daje $c=8$.

Otworzono png/305.png i potwierdzono liczebności słupków podane w Markdown. Dla każdej osoby sumujemy liczebności, odczytujemy środkową pozycję lub dwie pozycje i obliczamy średnią ważoną.

A. Wszystkie sześć wyników wystąpiło po $4$ razy, więc było $24$ rzutów. Pozycje $12$ i $13$ mają wartości $3$ i $4$, zatem $M=3{,}5$. Wszystkie wyniki są równie częste, więc dominanty nie ma. Symetria liczebności daje $\bar{x}=3{,}5$.

B. Liczebności $6,5,4,3,2,1$ sumują się do $21$. Jedenasty wynik jest równy $2$, więc $M=2$, a najczęstszy wynik to $1$, zatem $D=1$. Ponadto

$$\bar{x}=\frac{6\cdot1+5\cdot2+4\cdot3+3\cdot4+2\cdot5+1\cdot6}{21} =\frac{56}{21}=2\frac23.$$

C. Dla liczebności $1,2,3,4,5,6$ wykonano $21$ rzutów. Jedenasty wynik jest równy $5$, więc $M=5$, a $D=6$. Średnia wynosi

$$\bar{x}=\frac{1+4+9+16+25+36}{21} =\frac{91}{21}=4\frac13.$$

D. Liczebności $1,3,6,6,3,1$ dają $20$ rzutów. Pozycje $10$ i $11$ mają wartości $3$ i $4$, więc $M=3{,}5$. Dominantami są $3$ i $4$, a symetria daje $\bar{x}=3{,}5$.

E. Liczebności $1,2,3,3,2,1$ dają $12$ rzutów. Wartości środkowe to $3$ i $4$, dominantami są $3$ i $4$, a

$$M=\bar{x}=3{,}5.$$

F. Dla liczebności $6,3,1,1,3,6$ było $20$ rzutów. Wartości środkowe to $3$ i $4$, dominantami są $1$ i $6$, a dzięki symetrii $M=\bar{x}=3{,}5$.

Początkowo zapisano $60$ ocen. Po czwartym sprawdzianie jest ich $80$, więc mediana jest średnią ocen na pozycjach $40$ i $41$ w szeregu uporządkowanym.

a) Dopisujemy $20$ ocen dobrych, czyli ocen $4$. Nowe liczebności dla ocen $1$–$6$ wynoszą:

$$4,10,23,22,19,2.$$

Największą liczebność, $23$, ma ocena $3$, więc $D=3$. Oceny $1$–$3$ zajmują pierwszych $37$ pozycji, a ocena $4$ pozycje od $38$ do $59$. Pozycje $40$ i $41$ są zatem czwórkami, więc $M=4$.

b) Dopisujemy po $10$ ocen $1$ i $5$. Otrzymujemy liczebności

$$14,10,23,2,29,2.$$

Najczęstsza jest ocena $5$, więc $D=5$. Oceny $1$ i $2$ zajmują pierwsze $24$ pozycje, a oceny $3$ pozycje od $25$ do $47$. Obie wartości środkowe są trójkami, zatem $M=3$.