MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 301

a) Suma ośmiu liczb wynosi

$$0+2+3+4+6+9+9+127=160,$$

więc średnia całego zestawu jest równa

$$\frac{160}{8}=20.$$

Po usunięciu liczb skrajnych $0$ i $127$ pozostaje sześć liczb o sumie $160-127=33$. Ich średnia wynosi

$$\frac{33}{6}=5{,}5.$$

b) Suma siedmiu liczb jest równa

$$11+12+12+13+15+17+82=162,$$

zatem średnia całego zestawu wynosi

$$\frac{162}{7}=23\frac17.$$

Po usunięciu $11$ i $82$ suma pozostałych pięciu liczb jest równa $162-11-82=69$, a ich średnia to

$$\frac{69}{5}=13{,}8=13\frac45.$$

Suma początkowych dwunastu wyrazów ciągu geometrycznego wynosi

$$2+2^2+\ldots+2^{12} =\frac{2(2^{12}-1)}{2-1} =2^{13}-2 =8190.$$

Zatem średnia całego zestawu jest równa

$$\frac{8190}{12}=682{,}5.$$

Po usunięciu dwóch liczb najmniejszych, $2$ i $2^2$, oraz dwóch największych, $2^{11}$ i $2^{12}$, pozostają wyrazy od $2^3$ do $2^{10}$. Jest ich osiem, a ich suma wynosi

$$2^3+2^4+\ldots+2^{10}=2^{11}-2^3=2040.$$

Nowa średnia jest więc równa

$$\frac{2040}{8}=255.$$

Suma czterech skreślonych liczb wynosi

$$1+6+8+9=24,$$

więc ich średnia jest równa $24:4=6$. Oznaczmy przez $t$ kolejną skreślaną liczbę.

a) Po wzroście średniej o $1$ nowa średnia ma wynosić $7$. Stąd

$$\frac{24+t}{5}=7,$$

czyli $t=11$. Liczba $11$ nie jest jeszcze skreślona, więc jest to możliwe.

b) Po spadku średniej o $1$ nowa średnia miałaby wynosić $5$. Równanie

$$\frac{24+t}{5}=5$$

daje $t=1$. Liczba $1$ jest już skreślona, nie można więc skreślić jej ponownie. Jest to niemożliwe.

c) Wzrost o $33\frac13\%$ oznacza pomnożenie średniej przez $1+\frac13=\frac43$. Nowa średnia ma zatem wynosić $6\cdot\frac43=8$. Równanie

$$\frac{24+t}{5}=8$$

daje $t=16$. Ta liczba nie jest skreślona, więc warunek można spełnić.

a) Skreślone liczby $1,5,10,12$ mają sumę $28$ i średnią $7$. Po skreśleniu jeszcze dwóch liczb średnia sześciu skreślonych liczb nadal ma wynosić $7$, zatem suma nowej pary musi być równa

$$6\cdot7-28=14.$$

Spośród liczb jeszcze nieskreślonych sumę $14$ mają pary

$$\{3,11\}\quad\text{oraz}\quad\{6,8\}.$$

Są więc dwa sposoby.

b) Skreślone liczby $2,9,12$ mają sumę $23$ i średnią $\frac{23}{3}$. Po skreśleniu następnych trzech liczb suma wszystkich sześciu powinna wynosić

$$6\cdot\frac{23}{3}=46.$$

Nowa trójka musi mieć zatem sumę $46-23=23$. Wśród liczb jeszcze nieskreślonych warunek spełniają dokładnie trójki

$$\{4,8,11\},\quad \{5,7,11\},\quad \{5,8,10\},\quad \{6,7,10\}.$$

Otrzymujemy cztery sposoby.