MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 296

Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki:

$$\begin{aligned} 3x^3+4x^2-6x-8&=(3x+4)(x^2-2),\\ 9x^2-16&=(3x+4)(3x-4). \end{aligned}$$

Dla $x\ne-\frac43$ możemy skrócić czynnik $3x+4$. Otrzymujemy

$$\begin{aligned} \lim_{x\to-\frac43}\frac{3x^3+4x^2-6x-8}{9x^2-16} &=\lim_{x\to-\frac43}\frac{x^2-2}{3x-4}\\ &=\frac{\frac{16}{9}-2}{-4-4} =\frac{-\frac29}{-8}=\frac1{36}. \end{aligned}$$

Ponieważ

$$\frac1{36}=0{,}027777\ldots,$$

trzy pierwsze cyfry po przecinku to $0$, $2$, $7$.

Stosujemy wzór na pochodną pierwiastka:

$$f'(x)=\frac{2x-\frac1{x^2}}{2\sqrt{x^2+\frac1x}}.$$

Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie o odciętej $1$ jest równy

$$f'(1)=\frac{2-1}{2\sqrt{1+1}} =\frac1{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}.$$

Rozwinięcie dziesiętne ma postać

$$\frac{\sqrt2}{4}=0{,}353553\ldots,$$

więc kod tworzą cyfry $3$, $5$, $3$.

Obliczamy pochodną:

$$f'(x)=x^2-2.$$

Jej miejsca zerowe to $x=-\sqrt2$ i $x=\sqrt2$. W badanym przedziale leży tylko $-\sqrt2$. Pochodna jest dodatnia dla $x<-\sqrt2$ i ujemna dla $-\sqrt2<x\le1$, zatem w punkcie $-\sqrt2$ funkcja osiąga największą wartość. Jest ona równa

$$\begin{aligned} f(-\sqrt2) &=\frac{(-\sqrt2)^3}{3}-2(-\sqrt2)\\ &=-\frac{2\sqrt2}{3}+2\sqrt2 =\frac{4\sqrt2}{3}. \end{aligned}$$

Ponieważ

$$\frac{4\sqrt2}{3}=1{,}8856\ldots,$$

cyfra jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku tworzą kod 188.

Niech

$$g(x)=2x^3-\frac32x^2-3x.$$

Równanie $g(x)=m$ ma rozwiązanie w $\langle0;1\rangle$ dokładnie wtedy, gdy $m$ należy do zbioru wartości funkcji $g$ na tym przedziale. Obliczamy

$$g'(x)=6x^2-3x-3=3(2x+1)(x-1).$$

Dla $0\le x<1$ pochodna jest ujemna, więc $g$ maleje na całym badanym przedziale. Wartości na jego końcach wynoszą

$$g(0)=0,\qquad g(1)=2-\frac32-3=-\frac52.$$

Stąd

$$g(\langle0;1\rangle)=\left\langle-\frac52;0\right\rangle.$$

Przekątna kwadratu ma długość

$$|AC|=2\sqrt2\cdot\sqrt2=4.$$

Z symetrii przedstawionej na rysunku wysokość $AE$ leży na przekątnej $AC$.

Gdy $0<x\le2$, punkty $K$ i $L$ leżą odpowiednio na bokach $AB$ i $AD$. Trójkąt $AKL$ jest prostokątny i równoramienny, a jego podstawa ma długość

$$|KL|=2x.$$

Zatem

$$P(x)=\frac12\cdot2x\cdot x=x^2.$$

Gdy $2<x<4$, punkty $K$ i $L$ leżą odpowiednio na bokach $BC$ i $DC$. Wtedy $|EC|=4-x$, a trójkąt $KCL$ jest prostokątny i równoramienny, więc

$$|KL|=2(4-x).$$

Pole trójkąta $AKL$ wynosi zatem

$$P(x)=\frac12\cdot2(4-x)\cdot x=4x-x^2.$$

Końce $x=0$ i $x=4$ odpowiadałyby trójkątom zdegenerowanym, dlatego

$$D_P=(0;4).$$

Ostatecznie

$$P(x)= \begin{cases} x^2 & \text{dla }0<x\le2,\\ 4x-x^2 & \text{dla }2<x<4. \end{cases}$$

Oba wzory określają funkcje ciągłe na swoich przedziałach, a w punkcie łączenia

$$P(2)=4=\lim_{x\to2^+}(4x-x^2).$$

Funkcja $P$ jest więc ciągła w całej swojej dziedzinie. Jej wykres składa się z fragmentu paraboli $y=x^2$ dla $0<x\le2$ oraz fragmentu paraboli $y=4x-x^2$ dla $2<x<4$.

Dla ustalonego $a$ dzielimy licznik i mianownik przez $x^2$:

$$f(a)=\lim_{x\to\infty} \frac{\frac4x-3a}{a^2+4+\frac7{x^2}} =-\frac{3a}{a^2+4}.$$

Badamy zatem funkcję

$$f(a)=-\frac{3a}{a^2+4},\qquad a\in\langle-5;5\rangle.$$

Jej pochodna wynosi

$$f'(a)=\frac{3(a^2-4)}{(a^2+4)^2}.$$

Punkty krytyczne w badanym przedziale to $a=-2$ i $a=2$. Porównujemy wartości funkcji w tych punktach i na końcach przedziału:

$$f(-5)=\frac{15}{29},\qquad f(-2)=\frac34,\qquad f(2)=-\frac34,\qquad f(5)=-\frac{15}{29}.$$

Największa wartość jest więc osiągana dla $a=-2$, a najmniejsza dla $a=2$.

Niech

$$t=|AB|-|DC|=|AB|-4.$$

Ponieważ $AB$ jest dłuższą podstawą, mamy $0<t<4$. Ramię $BC$, wysokość $h=|AD|$ i odcinek długości $t$ tworzą trójkąt prostokątny, więc

$$t^2+h^2=4^2,\qquad h=\sqrt{16-t^2}.$$

Pole trapezu jest funkcją

$$P(t)=\frac{(4+t)+4}{2}\sqrt{16-t^2} =\left(4+\frac t2\right)\sqrt{16-t^2}.$$

Jej pochodna ma postać

$$P'(t)=\frac{8-4t-t^2}{\sqrt{16-t^2}}.$$

Mianownik jest dodatni w dziedzinie, a licznik zeruje się dla

$$t^2+4t-8=0,\qquad t=-2+2\sqrt3.$$

Drugi pierwiastek jest ujemny. Pochodna zmienia w znalezionym punkcie znak z dodatniego na ujemny, zatem pole jest tam największe. Odpowiadająca mu wysokość spełnia

$$\begin{aligned} h^2 &=16-(-2+2\sqrt3)^2\\ &=16-(16-8\sqrt3)=8\sqrt3, \end{aligned}$$

czyli

$$h=\sqrt{8\sqrt3}=2\sqrt{2\sqrt3}.$$