MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 295

Korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów:

$$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).$$

Dla $x\ne2$ iloraz można skrócić, więc

$$\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x-2} =\lim_{x\to2}(x^2+2x+4)=4+4+4=12.$$

Sprawdzamy granice podanych funkcji. W odpowiedzi B mianownik nie zeruje się dla $x=-1$, zatem można bezpośrednio podstawić tę liczbę:

$$\lim_{x\to-1}\frac{x-1}{1-x^3} =\frac{-1-1}{1-(-1)^3} =\frac{-2}{2}=-1.$$

W odpowiedziach A i C mianowniki dążą do zera, a licznik do $-2$, natomiast w D można podstawić $x=-1$ i otrzymać granicę równą $0$.

Prosta $x=-3$ jest asymptotą pionową, jeśli przy $x\to-3$ mianownik dąży do zera, a czynnik $x+3$ nie skraca się z licznikiem.

W odpowiedzi C

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2),$$

więc licznik dla $x=-3$ ma wartość $6\ne0$, podczas gdy mianownik $x+3$ dąży do zera. Zatem $x=-3$ jest asymptotą pionową tej funkcji.

W odpowiedziach B i D czynnik $x+3$ skraca się, a w A mianownik zeruje się dla $x=3$.

Warunkiem ciągłości w punkcie łączenia $x=-2$ jest równość wartości obu wzorów. Z lewej strony, wraz z wartością funkcji w tym punkcie, otrzymujemy

$$f(-2)=a-2.$$

Granica prawostronna wynosi

$$-\frac12\cdot(-2)+2=3.$$

Stąd

$$a-2=3\qquad a=5.$$

Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy $f'(2)$. Obliczamy pochodną:

$$f'(x)=\frac{(x^2-3)-2x^2}{(x^2-3)^2} =-\frac{x^2+3}{(x^2-3)^2}.$$

Zatem

$$f'(2)=-\frac{4+3}{(4-3)^2}=-7.$$

Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie o odciętej $2$ wynosi

$$f'(2)\qquad f'(x)=2x\qquad f'(2)=4.$$

Zatem

$$\tan\alpha=4\qquad \alpha=\arctan4\approx75{,}96^\circ.$$

Spośród podanych wartości najbliższa kątowi $\alpha$ jest liczba $76^\circ$.

Mianownik jest dodatni dla każdego $x$, ponieważ trójmian $x^2-x+1$ ma wyróżnik $-3<0$. Obliczamy pochodną:

$$f'(x)=\frac{3(x^2-x+1)-3x(2x-1)}{(x^2-x+1)^2} =\frac{3(1-x^2)}{(x^2-x+1)^2}.$$

Pochodna jest dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy

$$1-x^2>0\qquad -1<x<1.$$

Na przedziale domkniętym sprawdzamy wartości w punktach krytycznych i na końcach przedziału. Mamy

$$f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2).$$

W przedziale $\langle0;4\rangle$ pochodna zeruje się dla $x=0$ i $x=\sqrt2$. Obliczamy:

$$f(0)=-3\qquad f(\sqrt2)=4-8-3=-7\qquad f(4)=189.$$

Najmniejsza z tych wartości jest równa $-7$.

Z warunku $2x+y=4$ otrzymujemy

$$y=4-2x.$$

Z założenia mamy $x>0$; liczba $y$ nie musi być dodatnia. Badany iloczyn jest więc funkcją określoną dla $x\in(0;\infty)$:

$$P(x)=x^2y=x^2(4-2x)=4x^2-2x^3.$$

Jej pochodna wynosi

$$P'(x)=8x-6x^2=2x(4-3x).$$

Funkcja rośnie dla $0<x<\frac43$ i maleje dla $x>\frac43$, więc maksimum osiąga dla $x=\frac43$. Wtedy

$$y=4-2\cdot\frac43=\frac43$$

oraz

$$P\left(\frac43\right) =\left(\frac43\right)^2\cdot\frac43 =\frac{64}{27}.$$