MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 293

Badamy miejsca zerowe i zmianę znaku pochodnej.

a)

$$f'(x)=3x^2+5x+2=(3x+2)(x+1).$$

Znaki pochodnej są kolejno $+$, $-$, $+$. W $x=-1$ jest maksimum, a w $x=-\frac23$ minimum.

b)

$$f'(x)=4x^3-12x+8=4(x-1)^2(x+2).$$

Znak zmienia się z $-$ na $+$ tylko w $x=-2$, więc jest tam minimum. W $x=1$ nie ma ekstremum.

c)

$$f'(x)=\frac{2(4-x^2)}{(x^2+4)^2}.$$

Znak zmienia się z $-$ na $+$ w $-2$ i z $+$ na $-$ w $2$.

d)

$$f'(x)=\frac{16x}{(x^2+4)^2}.$$

Funkcja maleje przed $0$ i rośnie po $0$, więc ma minimum w $x=0$.

e) Dla $x\ne0$:

$$f'(x)=1-\frac8{x^3}=\frac{x^3-8}{x^3}.$$

Na $(-\infty;0)$ pochodna jest dodatnia, na $(0;2)$ ujemna, a na $(2;\infty)$ dodatnia. Jedynym ekstremum jest minimum w $x=2$.

f) Dziedzina to $\mathbb R\setminus\{-2\}$, a

$$f'(x)=\frac{3(2-x)}{(x+2)^3}.$$

Pochodna jest ujemna w $(-\infty;-2)$, dodatnia w $(-2;2)$ i ujemna w $(2;\infty)$, zatem w $x=2$ występuje maksimum.

g) Wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie, a

$$f'(x)=\frac{2x(x^2+1)}{\sqrt{x^4+2x^2+2}}.$$

Znak pochodnej jest taki jak znak $x$, więc w $x=0$ jest minimum.

h) Wyrażenie $2x^4-x^2+1$ jest dodatnie dla każdego $x$. Mamy

$$f'(x)=\frac{x(4x^2-1)}{\sqrt{2x^4-x^2+1}}.$$

Znaki na przedziałach wyznaczonych przez $-\frac12$, $0$, $\frac12$ to kolejno $-$, $+$, $-$, $+$. Stąd minima są w $\pm\frac12$, a maksimum w $0$.

i)

$$f(x)=\sqrt{1+\frac1{x^2+1}},$$

a znak pochodnej jest przeciwny do znaku $x$. Funkcja rośnie do $0$ i maleje od $0$, więc ma tam maksimum. Wartość $1$ jest jedynie granicą dla $|x|\to\infty$, nie minimum.

Porównujemy wartości na końcach przedziału oraz w punktach stacjonarnych należących do przedziału.

a)

$$f'(x)=3x^2-6=3(x^2-2),$$

więc punktami stacjonarnymi są $\pm\sqrt2$. Mamy

$$f(-2)=4,\quad f(-\sqrt2)=4\sqrt2,\quad f(\sqrt2)=-4\sqrt2,\quad f(3)=9.$$

b)

$$f'(x)=\frac{10}{(x+2)^2}>0$$

na $\langle0;8\rangle$. Funkcja rośnie, a jej wartości na końcach to $f(0)=-4$ i $f(8)=0$.

c)

$$f'(x)=\frac{4-x^2}{(x^2+4)^2}.$$

W przedziale leżą punkty stacjonarne $-2$ i $2$. Porównujemy

$$f(-4)=-\frac15,\quad f(-2)=-\frac14,\quad f(2)=\frac14,\quad f(4)=\frac15.$$

d) Funkcja pod pierwiastkiem, $g(x)=2x(9-x)$, ma pochodną $g'(x)=18-4x>0$ na $\langle1;3\rangle$. Pierwiastek zachowuje porządek, więc $f$ również rośnie. Mamy $f(1)=4$ i $f(3)=6$.

Otworzono png/293.png, aby potwierdzić położenie $x$ i wymiary figur.

a) Szerokość prostokąta wynosi $2x$. Z podobieństwa trójkątów szerokość przekroju trójkąta na wysokości $h$ jest równa $4-\frac h3$. Warunek $2x=4-\frac h3$ daje $h=12-6x$. Zatem

$$P(x)=2x(12-6x)=24x-12x^2, \qquad x\in(0;2).$$

Ponieważ $P'(x)=24-24x$, maksimum występuje dla $x=1$. Wymiary wynoszą $2x=2$ oraz $h=6$.

b) Jeśli $y$ jest wysokością prostokąta, jego prawy górny wierzchołek leży na półokręgu jednostkowym, więc $x^2+y^2=1$ i $y=\sqrt{1-x^2}$. Stąd

$$P(x)=2x\sqrt{1-x^2}, \qquad x\in(0;1).$$

Maksymalizujemy równoważnie $P(x)^2=4x^2(1-x^2)$. Jego pochodna zeruje się wewnątrz przedziału dla $x=\frac{\sqrt2}{2}$. Wymiary prostokąta to $\sqrt2$ i $\frac{\sqrt2}{2}$.

c) Tutaj $y=\sqrt{1-x^2}$ jest połową wysokości prostokąta. Zatem

$$P(x)=2x\cdot2y=4x\sqrt{1-x^2}, \qquad x\in(0;1).$$

Maksimum ponownie występuje dla $x=\frac{\sqrt2}{2}$. Oba wymiary są równe $\sqrt2$, więc optymalny prostokąt jest kwadratem.

Wyznaczamy dane potrzebne do szkicu.

a)

$$f(x)=(x+1)^2(x-1), \qquad f'(x)=(3x-1)(x+1).$$

Miejsca zerowe to $-1$ (podwójne) i $1$, a $f(0)=-1$. Funkcja rośnie w $(-\infty;-1\rangle$, maleje w $\langle-1;\frac13\rangle$ i rośnie w $\langle\frac13;\infty)$. Ma maksimum $f(-1)=0$ oraz minimum $f(\frac13)=-\frac{32}{27}$.

b) Funkcja jest parzysta i

$$f(x)=(x^2+2)(x^2-1), \qquad f'(x)=2x(2x^2+1).$$

Ma miejsca zerowe $\pm1$, maleje do minimum $f(0)=-2$, a następnie rośnie; dla $x\to\pm\infty$ dąży do $+\infty$.

c)

$$f(x)=\frac14x^2(x-6), \qquad f'(x)=\frac34x(x-4).$$

Miejsca zerowe to $0$ (podwójne) i $6$. Funkcja rośnie do maksimum $f(0)=0$, maleje do minimum $f(4)=-8$, a potem rośnie.

d) Dziedzina wyklucza $-3$ i $3$; są to asymptoty pionowe, a $y=0$ jest asymptotą poziomą. Jedynym miejscem zerowym jest $-2$ i $f(0)=-\frac29$. Ponieważ

$$f'(x)=-\frac{x^2+4x+9}{(x^2-9)^2}<0,$$

funkcja maleje na każdej składowej dziedziny.

e) Funkcja jest nieparzysta, ma miejsce zerowe $0$ i asymptotę poziomą $y=0$. Ponieważ

$$f'(x)=\frac{8(8-x^2)}{(x^2+8)^2},$$

maleje do minimum $f(-2\sqrt2)=-\sqrt2$, rośnie do maksimum $f(2\sqrt2)=\sqrt2$, a następnie maleje.

f) Dziedzina wyklucza $\pm1$, które są asymptotami pionowymi; $y=0$ jest asymptotą poziomą. Funkcja jest parzysta, nie ma miejsc zerowych, a

$$f'(x)=\frac{4x}{(x^2-1)^2}.$$

Środkowa gałąź ma minimum $f(0)=2$; gałęzie zewnętrzne leżą poniżej osi $OX$.

g) Dziedzina wyklucza $1$ i $3$, będące asymptotami pionowymi; $y=0$ jest asymptotą poziomą. Funkcja nie ma miejsc zerowych, a

$$f'(x)=\frac{-2(x-2)}{(x^2-4x+3)^2}.$$

Środkowa gałąź ma maksimum $f(2)=-1$; gałęzie zewnętrzne są dodatnie.

h)

$$f(x)=\frac6{(x-1)^2+7}, \qquad f'(x)=\frac{-12(x-1)}{((x-1)^2+7)^2}.$$

Funkcja jest dodatnia, ma asymptotę poziomą $y=0$, rośnie do maksimum $f(1)=\frac67$, a potem maleje.

i)

$$f(x)=x-3-\frac2x, \qquad f'(x)=1+\frac2{x^2}>0.$$

Dziedzina wyklucza $0$; asymptoty to $x=0$ i $y=x-3$. Funkcja rośnie na obu składowych dziedziny, a jej miejsca zerowe to $\frac{3-\sqrt{17}}2$ i $\frac{3+\sqrt{17}}2$.

a) Dziedzina to $\mathbb R\setminus\{-3,3\}$. Funkcja jest parzysta, ma miejsce zerowe $0$, asymptoty pionowe $x=\pm3$ i poziomą $y=2$. Ponieważ

$$f'(x)=\frac{-36x}{(x^2-9)^2},$$

rośnie dla $x<0$ i maleje dla $x>0$, z rozdzieleniem w asymptotach. Środkowa gałąź ma maksimum $f(0)=0$, a obie zewnętrzne leżą nad asymptotą $y=2$.

b)

$$f(x)=x^2+x+1+\frac1{x-1},$$

więc dziedzina wyklucza $1$, prosta $x=1$ jest asymptotą pionową, a wykres zbliża się do paraboli $y=x^2+x+1$ dla $|x|\to\infty$. Jedynym miejscem zerowym jest $0$, zaś

$$f'(x)=\frac{x^2(2x-3)}{(x-1)^2}.$$

Funkcja maleje w $(-\infty;1)$ i $(1;\frac32\rangle$, a rośnie w $\langle\frac32;\infty)$. Punkt $x=0$ jest stacjonarny bez ekstremum, a minimum prawej gałęzi wynosi $f(\frac32)=\frac{27}{4}$.

c)

$$f(x)=x+\frac{x}{x^2-1}.$$

Dziedzina wyklucza $\pm1$; są to asymptoty pionowe, natomiast $y=x$ jest asymptotą ukośną. Funkcja jest nieparzysta i ma miejsce zerowe $0$. Pochodna

$$f'(x)=\frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}$$

jest dodatnia dla $|x|>\sqrt3$ i ujemna dla $|x|<\sqrt3$ poza asymptotami. Funkcja ma maksimum $f(-\sqrt3)=-\frac{3\sqrt3}{2}$ i minimum $f(\sqrt3)=\frac{3\sqrt3}{2}$; w $x=0$ znak pochodnej się nie zmienia.

W każdym podpunkcie dziedziną jest $\langle0;\infty)$.

a)

$$f(x)=\sqrt x(\sqrt x-2),$$

więc miejsca zerowe to $0$ i $4$. Dla $x>0$:

$$f'(x)=1-\frac1{\sqrt x}.$$

Funkcja maleje w $(0;1\rangle$, rośnie w $\langle1;\infty)$ i ma minimum $f(1)=-1$.

b) Miejsca zerowe to $0$ i $4$, a dla $x>0$:

$$f'(x)=\frac{4-3x}{2\sqrt x}.$$

Funkcja rośnie do $x=\frac43$, a następnie maleje. Maksimum wynosi

$$f\!\left(\frac43\right)=\frac{16\sqrt3}{9}.$$

Dla $x\to\infty$ funkcja dąży do $-\infty$.

c) Miejsca zerowe to $0$ i $2$. Dla $x>0$:

$$f'(x)=\frac{(5x-2)(x-2)}{2\sqrt x}.$$

Funkcja rośnie w $(0;\frac25\rangle$, maleje w $\langle\frac25;2\rangle$ i rośnie w $\langle2;\infty)$. Ma maksimum lokalne

$$f\!\left(\frac25\right)=\frac{64\sqrt{10}}{125}$$

oraz minimum $f(2)=0$. Także punkt końcowy $(0,0)$ jest minimum jednostronnym.