MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 292

Dla $a\ne0$ dzielimy licznik i mianownik przez $x^2$:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{ax^2-x+1}=\frac2a.$$

a) Warunek $\frac2a=1$ daje $a=2$.

b) Warunek $\frac2a=2$ daje $a=1$.

c) Aby granica była nieskończona, współczynnik przy $x^2$ w mianowniku musi zniknąć, czyli $a=0$. Wtedy

$$\frac{2x^2+1}{-x+1}\sim-2x\longrightarrow-\infty.$$

Korzystamy ze wzoru

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$

a) $f(0)=1$, $f'(x)=6x$, więc $f'(0)=0$ i $y=1$.

b) $f(-1)=-\frac43$, $f'(x)=x^2+1$, $f'(-1)=2$. Zatem

$$y+\frac43=2(x+1),$$

czyli $y=2x+\frac23$.

c) $f(2)=-\frac12$, $f'(x)=-\frac1{x^2}$ i $f'(2)=-\frac14$. Po uproszczeniu równania stycznej otrzymujemy $y=-\frac14x$.

d) $f(3)=-1$, $f'(x)=3(x-4)^2$, $f'(3)=3$, zatem $y=3x-10$.

e) $f(x)=1-\frac3x$, więc $f(1)=-2$ oraz $f'(1)=3$. Styczna ma równanie $y=3x-5$.

f) $f(1)=0$, a

$$f'(x)=\frac{-6x}{(x^2-4)^2}, \qquad f'(1)=-\frac23.$$

Stąd $y=-\frac23x+\frac23$.

Mamy $f'(x)=x^2-2$.

a) Prosta równoległa do $y=7x-4$ ma współczynnik kierunkowy $7$. Warunek $x_0^2-2=7$ daje $x_0=\pm3$. Punkty styczności to $(-3,-2)$ i $(3,4)$, więc styczne mają równania

$$y=7x+19, \qquad y=7x-17.$$

b) Prosta prostopadła do prostej o nachyleniu $-\frac12$ ma nachylenie $2$. Z równania $x_0^2-2=2$ otrzymujemy $x_0=\pm2$. Ponieważ $f(-2)=\frac73$ i $f(2)=-\frac13$, styczne to

$$y=2x+\frac{19}{3}, \qquad y=2x-\frac{13}{3}.$$

c) Współczynnik kierunkowy prostej tworzącej z osią $OX$ kąt $135^\circ$ jest równy $\tan135^\circ=-1$. Warunek $x_0^2-2=-1$ daje $x_0=\pm1$. Po podstawieniu punktów styczności otrzymujemy

$$y=-x+\frac53, \qquad y=-x+\frac13.$$

a)

$$f'(x)=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1).$$

Pochodna jest dodatnia poza przedziałem $(-2;1)$ i ujemna wewnątrz.

b)

$$f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\geq0.$$

Izolowane zero pochodnej nie zmienia jej znaku, więc funkcja rośnie na całej prostej.

c) Dla $x\ne0$:

$$f'(x)=-\frac2{x^2}<0.$$

d) Dziedzina to $\mathbb R\setminus\{-1\}$, a

$$f'(x)=\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}.$$

Znak jest dodatni dla $x<-2$ i $x>0$, a ujemny między $-2$ i $0$; przedział ujemności rozdziela wyłączony punkt $-1$.

e) Dla $x\ne0$:

$$f'(x)=2x+\frac2{x^2} =\frac{2(x+1)(x^2-x+1)}{x^2}.$$

Drugi czynnik jest zawsze dodatni, więc znak pochodnej wyznacza $x+1$.

f) Dla $x\ne0$:

$$f'(x)=4-\frac1{x^2} =\frac{(2x-1)(2x+1)}{x^2}.$$

Pochodna jest dodatnia dla $|x|>\frac12$ i ujemna dla $0<|x|<\frac12$.

Każdy wzór składowy jest ciągły w swojej części dziedziny, więc badamy tylko punkt połączenia $x=1$ w a) i $x=2$ w b).

a)

$$\lim_{x\to1^-}(2x-1)=1, \qquad \lim_{x\to1^+}\frac1x=1, \qquad f(1)=1.$$

Granice jednostronne i wartość funkcji są równe, zatem funkcja jest ciągła na $\mathbb R$. Wykres składa się z części prostej $y=2x-1$ dla $x<1$ oraz części hiperboli $y=\frac1x$ dla $x\geq1$; obie spotykają się w $(1,1)$.

b)

$$\lim_{x\to2^-}\frac2{x-3}=-2=f(2), \qquad \lim_{x\to2^+}(x-3)=-1.$$

Granice jednostronne są różne, więc funkcja jest nieciągła w $x=2$. Wykres tworzy część hiperboli $y=\frac2{x-3}$ dla $x\leq2$, z pełnym punktem $(2,-2)$, oraz część prostej $y=x-3$ dla $x>2$, z pustym punktem $(2,-1)$.

a) Jedynym możliwym punktem nieciągłości jest $x=0$. Mamy

$$\lim_{x\to0^-}\frac{x-5}{x+1}=-5, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=a=f(0).$$

Funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy $a=-5$.

b) Dla $x\to2$ licznik dąży do

$$\sqrt{2^2+5}-1=2,$$

natomiast mianownik do zera. Granica lewostronna wynosi $-\infty$, a prawostronna $+\infty$, więc nie istnieje skończona granica, którą można byłoby przyjąć jako $f(2)$. Żadna wartość $a$ nie zapewni ciągłości.

Szukany współczynnik kierunkowy to $f'(1)$.

a)

$$f'(x)=-20x^3+x^2+1, \qquad f'(1)=-18.$$

b)

$$f'(x)=-\frac3{x^4}+\frac2{x^3}+\frac1{\sqrt x}, \qquad f'(1)=0.$$

c)

$$f'(x)=-\frac6{x^3}+\frac1{2x^{3/2}}, \qquad f'(1)=-\frac{11}{2}.$$

d) Po zapisaniu $f(x)=x^{7/2}-x^{1/2}$ otrzymujemy

$$f'(x)=\frac72x^{5/2}-\frac12x^{-1/2}, \qquad f'(1)=3.$$

e)

$$f'(x)=\frac{(6x^2-1)(1+x^2)-2x(2x^3-x)}{(1+x^2)^2}, \qquad f'(1)=2.$$

f) Zapisujemy $f(x)=2x^{3/2}-9x^{-1/2}$. Wtedy

$$f'(x)=3\sqrt x+\frac9{2x^{3/2}}, \qquad f'(1)=\frac{15}{2}.$$