MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 286

Wszystkie funkcje mają dziedzinę $\mathbb R$.

a) Rozkładamy funkcję i jej pochodną:

$$f(x)=x(x-2)^2, \qquad f'(x)=3x^2-8x+4=(3x-2)(x-2).$$

Miejsca zerowe funkcji to $0$ i $2$, przy czym $2$ jest zerem podwójnym. Funkcja rośnie w $(-\infty;\frac23\rangle$, maleje w $\langle\frac23;2\rangle$ i rośnie w $\langle2;\infty)$. Ekstrema:

$$f\left(\frac23\right)=\frac{32}{27} \quad\text{— maksimum lokalne},$$ $$f(2)=0 \quad\text{— minimum lokalne}.$$

b) Mamy

$$f(x)=x^2(6-x^2), \qquad f'(x)=4x(3-x^2).$$

Funkcja jest parzysta. Jej miejsca zerowe to $-\sqrt6$, $0$, $\sqrt6$, a $0$ jest zerem podwójnym. Funkcja rośnie w $(-\infty;-\sqrt3\rangle$ i $\langle0;\sqrt3\rangle$, a maleje w $\langle-\sqrt3;0\rangle$ i $\langle\sqrt3;\infty)$. Osiąga maksima

$$f(-\sqrt3)=f(\sqrt3)=9$$

oraz minimum lokalne $f(0)=0$. Dla $x\to\pm\infty$ jej wartości dążą do $-\infty$.

c) Wyłączamy $x^2$ przed nawias:

$$f(x)=x^2\left(\frac34x^2-x-3\right).$$

Miejsca zerowe są równe

$$x=0, \qquad x=\frac{2-2\sqrt{10}}3, \qquad x=\frac{2+2\sqrt{10}}3,$$

przy czym $0$ jest zerem podwójnym. Pochodna ma postać

$$f'(x)=3x(x+1)(x-2).$$

Funkcja maleje w $(-\infty;-1\rangle$, rośnie w $\langle-1;0\rangle$, maleje w $\langle0;2\rangle$ i rośnie w $\langle2;\infty)$. Jej ekstrema to

$$f(-1)=-\frac54 \quad\text{— minimum lokalne},$$ $$f(0)=0 \quad\text{— maksimum lokalne},$$ $$f(2)=-8 \quad\text{— minimum lokalne}.$$

W każdym podpunkcie mianownik jest dodatni dla wszystkich liczb rzeczywistych, zatem $D_f=\mathbb R$.

a) Funkcję można zapisać jako

$$f(x)=1-\frac4{x^2+4}.$$

Ma ona jedno miejsce zerowe $x=0$, asymptotę poziomą $y=1$ i jest parzysta. Ponieważ

$$f'(x)=\frac{8x}{(x^2+4)^2},$$

funkcja maleje w $(-\infty;0\rangle$, rośnie w $\langle0;\infty)$ i ma minimum $f(0)=0$. Do asymptoty $y=1$ zbliża się od dołu.

b) Po uzupełnieniu kwadratu:

$$f(x)=\frac9{(x-1)^2+3}.$$

Wykres nie przecina osi $OX$, przecina oś $OY$ w $(0,\frac94)$ i ma asymptotę poziomą $y=0$. Jest symetryczny względem prostej $x=1$. Pochodna

$$f'(x)=\frac{-18(x-1)}{(x^2-2x+4)^2}$$

jest dodatnia dla $x<1$ i ujemna dla $x>1$. Funkcja ma maksimum $f(1)=3$.

c) Funkcja jest nieparzysta, przecina obie osie w $(0,0)$ i ma asymptotę poziomą $y=0$. Obliczamy

$$f'(x)=\frac{6(1-x^2)}{(x^2+1)^2}.$$

Funkcja maleje w $(-\infty;-1\rangle$, rośnie w $\langle-1;1\rangle$ i maleje w $\langle1;\infty)$. Zatem

$$f(-1)=-3$$

jest minimum, a

$$f(1)=3$$

jest maksimum.

W każdym podpunkcie mianownik jest dodatni, więc dziedziną funkcji jest $\mathbb R$.

a) Zapis

$$f(x)=4-\frac{15}{x^2+4}$$

pokazuje, że asymptotą poziomą jest $y=4$, a wykres leży poniżej niej. Funkcja jest parzysta, nie ma miejsc zerowych i przecina oś $OY$ w $(0,\frac14)$. Ponieważ

$$f'(x)=\frac{30x}{(x^2+4)^2},$$

funkcja maleje w $(-\infty;0\rangle$, rośnie w $\langle0;\infty)$ i ma minimum $f(0)=\frac14$.

b) Mamy

$$f(x)=\frac4{(x+1)^2+1}.$$

Wykres jest dodatni, symetryczny względem prostej $x=-1$, nie ma miejsc zerowych, przecina oś $OY$ w $(0,2)$ i ma asymptotę poziomą $y=0$. Pochodna

$$f'(x)=\frac{-8(x+1)}{(x^2+2x+2)^2}$$

jest dodatnia dla $x<-1$ i ujemna dla $x>-1$. Maksimum wynosi $f(-1)=4$.

c) Funkcja przecina oś $OX$ w $(1,0)$, oś $OY$ w $(0,\frac13)$ i ma asymptotę poziomą $y=0$. Jej pochodna to

$$f'(x)=\frac{x^2-2x-3}{(x^2+3)^2} =\frac{(x+1)(x-3)}{(x^2+3)^2}.$$

Funkcja rośnie w $(-\infty;-1\rangle$, maleje w $\langle-1;3\rangle$ i rośnie w $\langle3;\infty)$. Ma maksimum

$$f(-1)=\frac12$$

oraz minimum

$$f(3)=-\frac16.$$

Dla $x\to-\infty$ zbliża się do $0$ od góry, a dla $x\to\infty$ — od dołu.

Korzystamy ze zmian znaku pochodnej odczytanych ze skanu strony 286.

• Wykres $f$ kolejno maleje, rośnie, maleje i rośnie. Jego pochodna musi więc mieć trzy miejsca zerowe i znaki kolejno $-$, $+$, $-$, $+$. Tak zachowuje się wykres C.
• Wykres $g$ maleje również po obu stronach stacjonarnego punktu przegięcia w pobliżu $x=0$, następnie osiąga minimum i zaczyna rosnąć. Na wykresie A pochodna dotyka osi w $0$ bez zmiany znaku, a później przecina ją, zmieniając znak z ujemnego na dodatni.
• Wykres $h$ rośnie do pierwszego maksimum, maleje do minimum, rośnie do drugiego maksimum i potem maleje. Odpowiada temu układ znaków $+$, $-$, $+$, $-$ widoczny na wykresie B.