MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 285

Wszystkie trzy funkcje są wielomianami, więc ich dziedziną jest $\mathbb R$ i nie mają asymptot.

a) Dla $f(x)=-x^3+3x$ miejsca zerowe spełniają

$$-x(x^2-3)=0,$$

zatem są równe $-\sqrt3$, $0$, $\sqrt3$. Pochodna

$$f'(x)=3(1-x^2)$$

zeruje się dla $x=-1$ i $x=1$. Funkcja maleje w $(-\infty;-1\rangle$, rośnie w $\langle-1;1\rangle$ i ponownie maleje w $\langle1;\infty)$. Ma minimum lokalne

$$f(-1)=-2$$

oraz maksimum lokalne

$$f(1)=2.$$

Jest nieparzysta, a jej wartości dążą do $\infty$ dla $x\to-\infty$ i do $-\infty$ dla $x\to\infty$.

b) Mamy

$$f(x)=x^4-2x^2-8=(x^2-4)(x^2+2),$$

więc wykres przecina oś $OX$ dla $x=-2$ i $x=2$, a oś $OY$ w punkcie $(0,-8)$. Pochodna

$$f'(x)=4x(x-1)(x+1)$$

ma zera $-1$, $0$, $1$. Funkcja maleje w $(-\infty;-1\rangle$, rośnie w $\langle-1;0\rangle$, maleje w $\langle0;1\rangle$ i rośnie w $\langle1;\infty)$. Minima ma w punktach

$$(-1,-9),\qquad(1,-9),$$

a maksimum lokalne w $(0,-8)$. Funkcja jest parzysta i dąży do $\infty$ na obu końcach osi.

c) Rozkład

$$f(x)=-x^4+2x^2=x^2(2-x^2)$$

daje miejsca zerowe $-\sqrt2$, $0$, $\sqrt2$, przy czym w $0$ wykres jest styczny do osi $OX$. Ponieważ

$$f'(x)=4x(1-x^2),$$

funkcja rośnie w $(-\infty;-1\rangle$, maleje w $\langle-1;0\rangle$, rośnie w $\langle0;1\rangle$ i maleje w $\langle1;\infty)$. Maksima to

$$f(-1)=f(1)=1,$$

a minimum lokalne wynosi $f(0)=0$. Funkcja jest parzysta i dąży do $-\infty$ dla $x\to\pm\infty$.