MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 290

Niepozioma asymptota ukośna ma równanie $y=ax+b$, gdzie $a\ne0$. Dla funkcji wymiernej otrzymuje się ją jako część wielomianową z dzielenia $u(x)$ przez $v(x)$. Aby ta część była wielomianem stopnia pierwszego, stopień licznika musi być dokładnie o jeden większy od stopnia mianownika.

Do szkicu wyznaczamy dziedzinę, asymptoty, charakterystyczne punkty oraz monotoniczność.

a) Dla $x\ne0$ mamy $f'(x)=1-\frac1{x^2}$. Asymptotami są $x=0$ i $y=x$. Funkcja nie ma miejsc zerowych, jest nieparzysta, rośnie w $(-\infty;-1\rangle$ i $\langle1;\infty)$, a maleje w $\langle-1;0)$ i $(0;1\rangle$. Ma maksimum lokalne $f(-1)=-2$ i minimum lokalne $f(1)=2$.

b)

Dziedzina wyklucza $-1$ i $1$; są to asymptoty pionowe, a $y=1$ jest asymptotą poziomą. Funkcja jest parzysta, nie ma miejsc zerowych i ma maksimum lokalne środkowej gałęzi $f(0)=-1$. Rośnie dla $x<0$, a maleje dla $x>0$, z rozdzieleniem przedziałów w asymptotach.

c)

Dziedzina wyklucza $0$, a $x=0$ jest asymptotą pionową. Wykres zbliża się do paraboli $y=x^2$ dla $|x|\to\infty$, przecina oś $OX$ dla $x=-\sqrt[3]{2}$ i ma minimum lokalne $f(1)=3$. Funkcja maleje w $(-\infty;0)$ i $(0;1\rangle$, a rośnie w $\langle1;\infty)$.

d) Dziedzina to $\mathbb R\setminus\{-2,2\}$. Asymptoty pionowe mają równania $x=-2$ i $x=2$, a pozioma — $y=1$. Miejsca zerowe to $0$ i $3$. Ponieważ

(wyróżnik licznika jest ujemny), funkcja rośnie na każdej składowej dziedziny.

e)

Asymptoty to $x=0$ oraz $y=x-3$. Miejsca zerowe wynoszą $\frac{3-\sqrt5}{2}$ i $\frac{3+\sqrt5}{2}$. Funkcja rośnie w $(-\infty;-1\rangle$ i $\langle1;\infty)$, maleje w $\langle-1;0)$ i $(0;1\rangle$, ma maksimum lokalne $f(-1)=-5$ oraz minimum lokalne $f(1)=-1$.

f) Funkcja jest parzysta, a jej dziedzina to $\mathbb R\setminus\{-2,2\}$. Asymptoty pionowe mają równania $x=-2$, $x=2$; asymptotą ukośną w $-\infty$ jest $y=-x+2$, a w $+\infty$ — $y=x+2$. Dla $x>0$:

Z symetrii wynika, że funkcja ma minima lokalne $f(-4)=f(4)=8$ oraz maksimum lokalne środkowej gałęzi $f(0)=0$. Na gałęziach zewnętrznych maleje do $-4$ i od $2$ do $4$, a rośnie od $-4$ do $-2$ i od $4$; na $(-2;0)$ rośnie, a na $(0;2)$ maleje.