MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 283

Niech $x$ oznacza bok wyciętego kwadratu, a zarazem wysokość pudełka. Wymiary podstawy pudełka są równe $36-2x$ oraz $24-2x$, przy czym

$$0<x<12.$$

Objętość pudełka opisuje funkcja

$$V(x)=x(36-2x)(24-2x) =4x^3-120x^2+864x.$$

Jej pochodna wynosi

$$V'(x)=12x^2-240x+864 =12\bigl(x^2-20x+72\bigr).$$

Równanie $V'(x)=0$ ma rozwiązania

$$x=10-2\sqrt7 \quad\text{lub}\quad x=10+2\sqrt7.$$

Tylko pierwsze z nich należy do $(0;12)$. Pochodna jest dodatnia przed $10-2\sqrt7$ i ujemna po tej liczbie, więc w tym punkcie objętość osiąga maksimum.

Niech $x$ będzie krawędzią sześcianu, a $y$ — krawędzią kwadratowej podstawy prostopadłościanu. Jeżeli jego wysokość oznaczymy przez $h$, to z warunku o polach ścian mamy

$$yh=2y^2,$$

czyli $h=2y$.

Na szkielet sześcianu potrzeba $12x$ drutu. Szkielet drugiej bryły ma osiem krawędzi długości $y$ i cztery krawędzie długości $2y$, zatem potrzeba na niego $16y$ drutu. Otrzymujemy warunek

$$12x+16y=a.$$

Suma objętości brył jest równa

$$S=x^3+y^2\cdot2y=x^3+2y^3.$$

Po podstawieniu $y=\frac{a-12x}{16}$:

$$S(x)=x^3+\frac{(a-12x)^3}{2048},$$

więc

$$S'(x)=3x^2-\frac9{512}(a-12x)^2.$$

W punkcie krytycznym, korzystając z $a-12x=16y$, dostajemy

$$3x^2=\frac9{512}(16y)^2 \iff \frac{x}{y}=\sqrt{\frac32}=\frac{\sqrt6}{2}.$$

Ponadto

$$S''(x)=6x+\frac{27}{64}(a-12x)>0$$

dla dodatnich długości obu części, więc otrzymany punkt daje minimum. Jeśli $L_1=12x$ jest częścią przeznaczoną na sześcian, a $L_2=16y$ częścią przeznaczoną na prostopadłościan, to

$$\frac{L_1}{L_2} =\frac{12x}{16y} =\frac{3\sqrt6}{8}.$$

Oznaczmy $|OA|=x$, gdzie $0<x<6$. Ponieważ $B=(x,(x-6)^2)$, drugi bok prostokąta ma długość

$$|OC|=(x-6)^2=(6-x)^2.$$

Pole prostokąta jest zatem równe

$$P(x)=x(6-x)^2=x^3-12x^2+36x.$$

Obliczamy pochodną:

$$P'(x)=3x^2-24x+36 =3(x-2)(x-6).$$

W przedziale $(0;2)$ pochodna jest dodatnia, a w $(2;6)$ ujemna. Największe pole otrzymujemy więc dla $x=2$. Wtedy

$$(6-x)^2=4^2=16.$$

Parabola przecina oś $OX$ w punktach $(-2,0)$ i $(2,0)$, więc dłuższa podstawa trapezu ma długość $4$.

Niech końce drugiej, poziomej podstawy mają współrzędne

$$(-x,4-x^2) \quad\text{oraz}\quad (x,4-x^2), \qquad 0<x<2.$$

Krótsza podstawa ma długość $2x$, a wysokość trapezu jest równa $4-x^2$. Jego pole opisuje funkcja

$$P(x)=\frac{4+2x}{2}(4-x^2) =(2+x)(4-x^2).$$

Pochodna wynosi

$$P'(x)=4-4x-3x^2 =-(3x-2)(x+2).$$

W rozważanym przedziale pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny dla $x=\frac23$, zatem tam pole jest największe. Obliczamy

$$P\left(\frac23\right) =\left(2+\frac23\right) \left(4-\frac49\right) =\frac83\cdot\frac{32}{9} =\frac{256}{27}.$$

W każdym podpunkcie minimalizujemy kwadrat odległości. Ma on minimum dla tego samego punktu co sama odległość.

a) Punkt paraboli ma postać $Q=(x,x^2)$, a $P=(0,10)$. Zatem

$$d^2(x)=x^2+(x^2-10)^2 =x^4-19x^2+100.$$

Pochodna wynosi

$$(d^2)'(x)=4x^3-38x =2x(2x^2-19).$$

Najmniejszą wartość otrzymujemy dla

$$x^2=\frac{19}{2}.$$

Wtedy $y=x^2=\frac{19}{2}$.

b) Tym razem $Q=(x,8-x^2)$ i $P=(0,6)$, więc

$$d^2(x)=x^2+(2-x^2)^2 =x^4-3x^2+4.$$

Stąd

$$(d^2)'(x)=4x^3-6x =2x(2x^2-3).$$

Minimum przypada dla $x^2=\frac32$, a wówczas

$$y=8-\frac32=\frac{13}{2}.$$

c) Ze skanu odczytujemy $P=(0,4)$ oraz $Q=(x,\frac12x^2+2)$. Mamy

$$d^2(x)=x^2+\left(\frac12x^2-2\right)^2 =\frac14x^4-x^2+4.$$

Pochodna jest równa

$$(d^2)'(x)=x^3-2x=x(x^2-2).$$

Minimum otrzymujemy dla $x^2=2$. W obu punktach

$$y=\frac12\cdot2+2=3.$$

Niech punkt styczności ma współrzędne

$$T=(t,t^2-1).$$

Ponieważ $f'(t)=2t$, równanie stycznej w tym punkcie ma postać

$$y-(t^2-1)=2t(x-t),$$

czyli

$$y=2tx-t^2-1.$$

Dla $t=0$ styczna jest równoległa do osi $OX$ i nie ogranicza z osiami trójkąta, zatem $t\ne0$. Punkty przecięcia stycznej z osiami mają współrzędne

$$\left(\frac{t^2+1}{2t},0\right) \quad\text{oraz}\quad (0,-t^2-1).$$

Pole trójkąta jest więc równe

$$P(t)=\frac12 \left|\frac{t^2+1}{2t}\right|(t^2+1) =\frac{(t^2+1)^2}{4|t|}.$$

Wprowadzamy $u=|t|>0$:

$$P(u)=\frac14\left(u^3+2u+\frac1u\right).$$

Obliczamy pochodną:

$$P'(u)=\frac14\left(3u^2+2-\frac1{u^2}\right).$$

Warunek $P'(u)=0$ daje

$$3u^4+2u^2-1=0 \iff (3u^2-1)(u^2+1)=0.$$

Zatem $u^2=\frac13$. Ponieważ pole dąży do nieskończoności zarówno dla $u\to0^+$, jak i dla $u\to\infty$, jest to minimum. Otrzymujemy

$$t=\pm\frac{\sqrt3}{3}, \qquad t^2-1=-\frac23.$$