MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 282

Niech boki prostokąta mają długości $x$ i $y$. Z warunku pola:

$$xy=50,\qquad y=\frac{50}{x},\qquad x>0.$$

Obwód jako funkcja $x$ wynosi

$$O(x)=2x+2y=2x+\frac{100}{x}.$$

Mamy

$$O'(x)=2-\frac{100}{x^2}.$$

Pochodna zeruje się dla

$$x^2=50,\qquad x=5\sqrt2.$$

Jest ujemna dla $0<x<5\sqrt2$ i dodatnia dla $x>5\sqrt2$, więc w tym punkcie obwód jest najmniejszy. Drugi bok ma długość

$$y=\frac{50}{5\sqrt2}=5\sqrt2.$$

Minimalny obwód wynosi $4\cdot5\sqrt2=20\sqrt2$ cm.

Niech zadrukowana część ma szerokość $x$ i wysokość $y$. Wtedy

$$xy=192,\qquad y=\frac{192}{x},\qquad x>0.$$

Kartka ma wymiary $x+3$ oraz $y+4$, ponieważ łączna szerokość marginesów bocznych wynosi $3$ cm, a górnego i dolnego $4$ cm. Jej pole jest równe

$$\begin{aligned} P(x) &=(x+3)\left(\frac{192}{x}+4\right)\\ &=204+4x+\frac{576}{x}. \end{aligned}$$

Mamy

$$P'(x)=4-\frac{576}{x^2}.$$

Pochodna zeruje się dla $x=12$, zmieniając znak z ujemnego na dodatni, więc jest to punkt minimum. Wówczas

$$y=\frac{192}{12}=16.$$

Wymiary całej kartki wynoszą zatem

$$x+3=15\ \text{cm},\qquad y+4=20\ \text{cm}.$$

Przekątna prostokąta jest średnicą okręgu, więc z twierdzenia Pitagorasa

$$x^2+y^2=12^2=144.$$

Dla $0<x<12$ mamy $y^2=144-x^2$. Maksymalizowany iloczyn można zatem zapisać jako funkcję jednej zmiennej:

$$F(x)=xy^2=x(144-x^2)=144x-x^3.$$

Jej pochodna wynosi

$$F'(x)=144-3x^2.$$

Jedynym miejscem zerowym pochodnej w dziedzinie jest

$$x^2=48,\qquad x=4\sqrt3.$$

Pochodna jest przed tym punktem dodatnia, a po nim ujemna, więc funkcja osiąga tam maksimum. Drugi bok spełnia

$$y^2=144-48=96,\qquad y=4\sqrt6.$$

Maksymalna wartość iloczynu to

$$xy^2=4\sqrt3\cdot96=384\sqrt3.$$

Z podanego fragmentu rozwiązania mamy dla $x>0$

$$k(x)=400x+\frac{160\,000}{x}.$$

Pochodna wynosi

$$k'(x)=400-\frac{160\,000}{x^2} =\frac{400(x^2-400)}{x^2}.$$

Zatem

$$k'(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=20.$$

Dla $0<x<20$ pochodna jest ujemna, a dla $x>20$ dodatnia, więc koszt jest najmniejszy dla $x=20$ m. Wtedy

$$y=\frac{160}{20}=8\ \text{m}.$$

Ściana z cegły powstaje wzdłuż boku $BC$, czyli boku długości $y=8$ m. Minimalny koszt wynosi

$$k(20)=400\cdot20+\frac{160\,000}{20} =8000+8000=16\,000\ \text{zł}.$$

Niech $a$ oznacza krawędź kwadratowej podstawy w decymetrach, a $h$ wysokość pudełka w decymetrach. Z warunku objętości:

$$a^2h=96,\qquad h=\frac{96}{a^2},\qquad a>0.$$

Pole wyrażone w $\text{dm}^2$ dzielimy przez $100$, aby otrzymać $\text{m}^2$. Koszt dolnej podstawy wynosi więc $2a^2$ zł, górnej podstawy $a^2$ zł, a czterech ścian bocznych $4ah$ zł. Łącznie

$$K=3a^2+4ah.$$

Po podstawieniu wysokości:

$$K(a)=3a^2+\frac{384}{a}.$$

Mamy

$$K'(a)=6a-\frac{384}{a^2}.$$

Pochodna zeruje się, gdy

$$6a^3=384,\qquad a^3=64,\qquad a=4.$$

Zmienia wtedy znak z ujemnego na dodatni, zatem koszt jest najmniejszy. Wysokość pudełka wynosi

$$h=\frac{96}{4^2}=6\ \text{dm},$$

a koszt materiału

$$K(4)=3\cdot4^2+\frac{384}{4}=48+96=144\ \text{zł}.$$