MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 281

W każdym podpunkcie oznaczmy krawędź podstawy przez $a$, a wysokość graniastosłupa przez $h$.

a) Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma osiem krawędzi podstaw i cztery krawędzie boczne. Zatem

$$8a+4h=16,\qquad h=4-2a,\qquad 0<a<2.$$

Jego objętość jest równa

$$V(a)=a^2h=a^2(4-2a).$$

Ponieważ

$$V'(a)=8a-6a^2=2a(4-3a),$$

funkcja rośnie do $a=\frac43$ i maleje dalej. W tym punkcie

$$h=4-2\cdot\frac43=\frac43,\qquad V_{\max}=\left(\frac43\right)^3=\frac{64}{27}.$$

b) Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma dwanaście krawędzi podstaw i sześć krawędzi bocznych, więc

$$12a+6h=96,\qquad h=16-2a,\qquad 0<a<8.$$

Pole sześciokąta foremnego o boku $a$ wynosi $\frac{3\sqrt3}{2}a^2$. Stąd

$$V(a)=\frac{3\sqrt3}{2}a^2(16-2a) =3\sqrt3\,a^2(8-a)$$

oraz

$$V'(a)=3\sqrt3\,a(16-3a).$$

Pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny dla $a=\frac{16}{3}$. Wtedy także

$$h=16-2\cdot\frac{16}{3}=\frac{16}{3}.$$

c) Pole podstawy równobocznej wynosi $\frac{\sqrt3}{4}a^2$. Warunek objętości daje

$$\frac{\sqrt3}{4}a^2h=16,\qquad h=\frac{64}{\sqrt3\,a^2}.$$

Pole całkowite jest zatem równe

$$S(a)=2\cdot\frac{\sqrt3}{4}a^2+3ah =\frac{\sqrt3}{2}a^2+\frac{192}{\sqrt3\,a}.$$

Mamy

$$S'(a)=\sqrt3\,a-\frac{192}{\sqrt3\,a^2}.$$

Równanie $S'(a)=0$ jest równoważne $a^3=64$, czyli $a=4$. Pochodna jest przed tym punktem ujemna, a po nim dodatnia, więc otrzymujemy minimum. Wysokość wynosi

$$h=\frac{64}{\sqrt3\cdot16} =\frac4{\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{3}.$$

Oznaczmy bok kwadratowej podstawy przez $a$, a wysokość przez $h$.

a) Z warunku dotyczącego przekątnej:

$$2a^2+h^2=36,\qquad h=\sqrt{36-2a^2}.$$

Objętość wynosi $V=a^2h$. Ponieważ $V>0$, możemy równoważnie maksymalizować jej kwadrat. Po podstawieniu $u=a^2\in(0;18)$ otrzymujemy

$$V^2=u^2(36-2u).$$

Pochodna prawej strony ma postać

$$\frac{d}{du}\left(u^2(36-2u)\right)=6u(12-u).$$

Maksimum występuje dla $u=12$, zatem

$$a=\sqrt{12}=2\sqrt3,\qquad h=\sqrt{36-24}=2\sqrt3.$$

b) Warunek objętości daje

$$a^2h=27,\qquad h=\frac{27}{a^2}.$$

Pole powierzchni całkowitej jest równe

$$S(a)=2a^2+4ah=2a^2+\frac{108}{a}.$$

Mamy

$$S'(a)=4a-\frac{108}{a^2}.$$

Pochodna zeruje się dla $a^3=27$, czyli $a=3$, i zmienia znak z ujemnego na dodatni. Stąd

$$h=\frac{27}{3^2}=3.$$