MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 280

a) Oznaczmy długości boków prostokąta przez $x$ i $y$. Z warunku obwodu:

$$2x+2y=60,\qquad y=30-x,\qquad 0<x<30.$$

Pole jako funkcja $x$ ma postać

$$P(x)=x(30-x)=30x-x^2.$$

Ponieważ

$$P'(x)=30-2x,$$

pochodna zeruje się dla $x=15$, jest dodatnia przed tym punktem i ujemna po nim. Maksimum pola przyjmowane jest więc dla

$$x=y=15,\qquad P_{\max}=225\ \text{cm}^2.$$

b) Wysokość danego trójkąta równoramiennego dzieli jego podstawę na odcinki długości $8$ cm, zatem

$$H=\sqrt{10^2-8^2}=6\ \text{cm}.$$

Niech $h$ oznacza wysokość prostokąta. Odcinek równoległy do podstawy trójkąta na wysokości $h$ ma, na mocy podobieństwa trójkątów, długość

$$x=16\left(1-\frac h6\right),\qquad 0<h<6.$$

Jest to szerokość prostokąta. Jego pole wynosi

$$P(h)=xh=16h-\frac83h^2,$$

a pochodna

$$P'(h)=16-\frac{16}{3}h$$

zeruje się dla $h=3$. Pochodna zmienia tam znak z dodatniego na ujemny, więc jest to maksimum. Wtedy

$$x=16\left(1-\frac36\right)=8,\qquad P_{\max}=8\cdot3=24\ \text{cm}^2.$$