MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 279

Funkcja ciągła na przedziale domkniętym przyjmuje wartość najmniejszą i największą. Wystarczy porównać jej wartości na końcach przedziału oraz w punktach krytycznych należących do przedziału.

a) Mamy

$$f'(x)=3x^2-6=3(x^2-2).$$

Spośród miejsc zerowych pochodnej do przedziału należy tylko $x=-\sqrt2$. Obliczamy

$$f(-2)=5,\qquad f(-\sqrt2)=1+4\sqrt2,\qquad f(0)=1.$$

Zatem minimum jest równe $1$, a maksimum $1+4\sqrt2$.

b) Pochodna ma postać

$$f'(x)=4x^3+12x^2=4x^2(x+3).$$

Na przedziale $[-2;1]$ jest nieujemna, więc funkcja jest tam niemalejąca. Stąd

$$f(-2)=-10,\qquad f(1)=11.$$

c) Mamy

$$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3).$$

Punkty krytyczne w rozważanym przedziale to $-1$ i $3$. Wartości kandydackie wynoszą

$$\begin{aligned} f(-2)&=0, & f(-1)&=7,\\ f(3)&=-25, & f(4)&=-18. \end{aligned}$$

Najmniejsza wartość to $-25$, a największa $7$.

d) Pochodna

$$f'(x)=-4x^3+4x=4x(1-x^2)$$

zeruje się dla $x=-1,0,1$. Porównujemy

$$f(-2)=f(2)=-2,\qquad f(-1)=f(1)=7,\qquad f(0)=6.$$

Zatem minimum jest równe $-2$, a maksimum $7$.

W każdym podpunkcie porównujemy wartości na końcach dziedziny oraz w punktach krytycznych.

a) Po przekształceniu i zróżniczkowaniu:

$$f(x)=1-\frac1{x^2+3},\qquad f'(x)=\frac{2x}{(x^2+3)^2}.$$

Pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w $0$. Zatem

$$f(0)=\frac23,\qquad f(-1)=f(1)=\frac34,$$

więc $f(D)=\left[\frac23;\frac34\right]$.

b) Mamy

$$f'(x)=\frac{x(x-6)}{(x-3)^2}.$$

Jedyny punkt krytyczny w $[4;7]$ to $6$. Ponieważ

$$f(4)=16,\qquad f(6)=12,\qquad f(7)=\frac{49}{4},$$

otrzymujemy $f(D)=[12;16]$.

c) Zapisujemy

$$f(x)=1-\frac3x+\frac2{x^2},\qquad f'(x)=\frac{3x-4}{x^3}.$$

Punkt krytyczny to $x=\frac43$. Wartości kandydackie:

$$f(1)=0,\qquad f\left(\frac43\right)=-\frac18,\qquad f(2)=0.$$

Zatem $f(D)=\left[-\frac18;0\right]$.

d) Pochodna wynosi

$$f'(x)=\frac{4(1-x^2)}{(1+x^2)^2}.$$

Punkty krytyczne to $-1$ i $1$. Mamy

$$f(-3)=-\frac65,\quad f(-1)=-2,\quad f(1)=2,\quad f(3)=\frac65.$$

Stąd $f(D)=[-2;2]$.

e) Mamy

$$f'(x)=-\frac{4x}{(x^2+1)^3}.$$

Funkcja rośnie do $x=0$, a następnie maleje. Porównanie wartości daje

$$f(-2)=\frac1{25},\qquad f(0)=1,\qquad f(3)=\frac1{100}.$$

Zatem $f(D)=\left[\frac1{100};1\right]$.

f) Mianownik jest zawsze dodatni, a

$$f'(x)=\frac{x(x+2)}{(x^2+2x+2)^2}.$$

W dziedzinie jedynym punktem krytycznym jest $0$. Obliczamy

$$f(-1)=1,\qquad f(0)=\frac12,\qquad f(2)=\frac7{10}.$$

Stąd $f(D)=\left[\frac12;1\right]$.

Oddzielmy parametr od części zależnej od $x$:

$$f(x)=g(x)+p,\qquad g(x)=x^4-4x.$$

Mamy

$$g'(x)=4x^3-4=4(x-1)(x^2+x+1).$$

Ponieważ $x^2+x+1>0$, funkcja $g$ maleje do $x=1$ i rośnie od $x=1$. Jej najmniejsza wartość na $[-1;2]$ wynosi więc

$$g(1)=1-4=-3.$$

Dodanie $p$ przesuwa wszystkie wartości o $p$, zatem

$$\min f=p-3.$$

Warunek z zadania daje $p-3=4$, czyli $p=7$.

Równanie $f(x)=m$ ma rozwiązanie w podanym przedziale dokładnie wtedy, gdy $m$ należy do zbioru wartości funkcji $f$ na tym przedziale.

a) Niech

$$f(x)=x^4-10x^2+9.$$

Wtedy

$$f'(x)=4x(x^2-5).$$

W przedziale $[-1;2]$ jedynym wewnętrznym punktem krytycznym jest $0$. Porównujemy

$$f(-1)=0,\qquad f(0)=9,\qquad f(2)=-15.$$

Zatem $f([-1;2])=[-15;9]$.

b) Dla

$$g(x)=x^5-5x+4$$

mamy

$$g'(x)=5(x^4-1).$$

W rozważanym przedziale trzeba sprawdzić $x=1$ oraz końce:

$$g(-1)=8,\qquad g(1)=0,\qquad g(2)=26.$$

Pochodna jest ujemna w $(-1;1)$ i dodatnia w $(1;2)$, więc $g([-1;2])=[0;26]$.

Pierwiastek trzeciego stopnia jest funkcją ściśle rosnącą, zatem zachowuje położenie minimum i maksimum wyrażenia pod pierwiastkiem.

a) Dla $g(x)=x^3-6x$ mamy

$$g'(x)=3(x^2-2).$$

W przedziale $[-1;3]$ znajduje się punkt krytyczny $x=\sqrt2$. Ponieważ

$$g(-1)=5,\qquad g(\sqrt2)=-4\sqrt2,\qquad g(3)=9,$$

otrzymujemy

$$f([-1;3]) =\left[\sqrt[3]{-4\sqrt2};\sqrt[3]{9}\right] =\left[-\sqrt[6]{32};\sqrt[3]{9}\right].$$

b) Dla $h(x)=x^4-2x^2$:

$$h'(x)=4x(x^2-1).$$

Sprawdzamy punkty $-1,0,1$ i koniec $3$:

$$h(-1)=h(1)=-1,\qquad h(0)=0,\qquad h(3)=63.$$

Zatem

$$f([-1;3])=[\sqrt[3]{-1};\sqrt[3]{63}] =[-1;\sqrt[3]{63}].$$

a) Podstawmy $t=\cos x$. Każda liczba $t\in[-1;1]$ jest wartością cosinusa, a

$$3t-4t^3=-(4t^3-3t)=-\cos 3x.$$

Wyrażenie przyjmuje więc dokładnie wszystkie wartości z przedziału $[-1;1]$.

b) Podstawmy $t=\sin x\in[-1;1]$ i rozważmy

$$g(t)=2t^3-3t.$$

Mamy

$$g'(t)=6t^2-3,$$

więc punkty krytyczne to $t=\pm\frac1{\sqrt2}$. Obliczamy

$$g(-1)=1,\quad g\left(-\frac1{\sqrt2}\right)=\sqrt2,\quad g\left(\frac1{\sqrt2}\right)=-\sqrt2,\quad g(1)=-1.$$

Zatem zbiorem wartości jest $[-\sqrt2;\sqrt2]$.