MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 278

Mamy

$$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2),$$

więc punktami stacjonarnymi są $x=0$ i $x=2$. Potrzebne wartości funkcji wynoszą

$$\begin{array}{c|rrrrrrr} x&-2&-1&0&1&2&3&4\\ \hline f(x)&-18&-2&2&0&-2&2&18. \end{array}$$

a) W $\langle-1;3\rangle$ porównujemy wartości dla $x=-1,0,2,3$.

b) W $\langle1;3\rangle$ porównujemy wartości dla $x=1,2,3$.

c) W $\langle-1;1\rangle$ porównujemy wartości dla $x=-1,0,1$.

d) W $\langle-2;4\rangle$ porównujemy wartości dla $x=-2,0,2,4$.

Wartości na przedziale domkniętym porównujemy w punktach stacjonarnych należących do przedziału oraz na jego końcach.

a)

$$f'(x)=\frac34x^2-3=\frac34(x-2)(x+2).$$

W przedziale $\langle1;4\rangle$ jedynym punktem stacjonarnym jest $x=2$. Obliczamy

$$f(1)=-\frac{11}{4},\qquad f(2)=-4,\qquad f(4)=4.$$

b)

$$f'(x)=12x^2+6x-6=6(2x-1)(x+1).$$

Do przedziału $\langle0;2\rangle$ należy miejsce zerowe $x=\frac12$. Mamy

$$f(0)=0,\qquad f\!\left(\frac12\right)=-\frac74, \qquad f(2)=32.$$

a)

$$f'(x)=4x^3-4=4(x-1)(x^2+x+1).$$

Jedynym punktem stacjonarnym w $\langle0;2\rangle$ jest $x=1$. Porównujemy

$$f(0)=0,\qquad f(1)=-3,\qquad f(2)=8.$$

b)

$$f'(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}<0$$

dla $x\in\langle1;3\rangle$. Funkcja jest na tym przedziale malejąca, więc

$$f(1)=\frac12,\qquad f(3)=\frac1{10}.$$

c)

$$f'(x)=x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2).$$

W rozpatrywanym przedziale punktami stacjonarnymi są $0$, $1$ i $2$, przy czym $2$ jest zarazem końcem przedziału. Porównujemy

$$f(-2)=16,\qquad f(0)=0,\qquad f(1)=\frac14,\qquad f(2)=0.$$

d) Mianownik $(x-2)^2+1$ jest zawsze dodatni, a

$$f'(x)=\frac{4(x^2-5)}{(x^2-4x+5)^2}.$$

Spośród miejsc zerowych $\pm\sqrt5$ do przedziału $\langle-3;0\rangle$ należy tylko $-\sqrt5$. Wartości kandydackie to

$$f(-3)=\frac6{13},\qquad f(-\sqrt5)=2\sqrt5-4, \qquad f(0)=0.$$