MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 276

Badamy znak pochodnej w dziedzinie każdej funkcji.

a)

$$f'(x)=-3x^2+6x+9=-3(x+1)(x-3).$$

Znaki pochodnej to kolejno $-$, $+$, $-$, więc minimum jest dla $x=-1$, a maksimum dla $x=3$.

b)

$$f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2).$$

Znak zmienia się z $+$ na $-$ w $-2$ oraz z $-$ na $+$ w $2$.

c)

$$f'(x)=x^2+3x-10=(x+5)(x-2).$$

Stąd maksimum jest dla $x=-5$, a minimum dla $x=2$.

d)

$$f'(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2).$$

Znaki na kolejnych przedziałach to $-$, $+$, $-$, $+$. Funkcja ma minima dla $x=-2$ i $x=2$ oraz maksimum dla $x=0$.

e)

$$f'(x)=2x^3+2x=2x(x^2+1).$$

Pochodna jest ujemna dla $x<0$ i dodatnia dla $x>0$, zatem w $x=0$ jest minimum.

f)

$$f'(x)=5x^4-45x^2=5x^2(x-3)(x+3).$$

W $x=0$ znak się nie zmienia. Dla $x=-3$ następuje zmiana z $+$ na $-$, a dla $x=3$ z $-$ na $+$.

g) Dla $x\ne0$:

$$f'(x)=1-\frac4{x^2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}.$$

Znak $+$ zmienia się na $-$ w $-2$, a znak $-$ na $+$ w $2$.

h) Dla $x\ne0$:

$$f'(x)=x-\frac1{x^2}=\frac{x^3-1}{x^2}.$$

Pochodna jest ujemna dla $x<1$ na obu składowych dziedziny i dodatnia dla $x>1$. Jedynym ekstremum jest minimum dla $x=1$.

i) Dla $x\ne0$:

$$f'(x)=3x^2-\frac3{x^2} =\frac{3(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^2}.$$

Pochodna jest dodatnia dla $|x|>1$ i ujemna dla $0<|x|<1$. Stąd $x=-1$ daje maksimum, a $x=1$ minimum.

a) Dziedzina to $\mathbb R\setminus\{0,2\}$, a

$$f'(x)=\frac{-8(x-1)}{(x^2-2x)^2}.$$

Pochodna jest dodatnia dla $x<1$ i ujemna dla $x>1$; przedziały rozdzielamy dodatkowo w punktach wyłączonych z dziedziny.

b) Dziedzina to $\mathbb R\setminus\{-3,3\}$ i

$$f'(x)=\frac{-18x}{(x^2-9)^2}.$$

Pochodna jest dodatnia dla $x<0$ oraz ujemna dla $x>0$.

c) Dla $x\ne-5$:

$$f'(x)=\frac{-(x+9)(x+1)}{(x+5)^2}.$$

Znaki pochodnej to $-$ przed $-9$, $+$ między $-9$ i $-1$ oraz $-$ po $-1$, przy czym przedział dodatniości rozdziela wyłączony punkt $-5$.

d)

$$f'(x)=\frac{-3x^2-4x+3}{(x^2+1)^2}.$$

Oznaczmy

$$\alpha=\frac{-2-\sqrt{13}}3, \qquad \beta=\frac{-2+\sqrt{13}}3.$$

Pochodna jest dodatnia między $\alpha$ i $\beta$, a ujemna poza tym przedziałem. W $\alpha$ jest minimum, zaś w $\beta$ maksimum.

e) Dziedzina to $\mathbb R\setminus\{-\sqrt3,\sqrt3\}$, a

$$f'(x)=\frac{x^2(x-3)(x+3)}{(x^2-3)^2}.$$

Pochodna jest dodatnia dla $|x|>3$, ujemna dla $|x|<3$ poza punktami wyłączonymi z dziedziny, a w $x=0$ zeruje się bez zmiany znaku.

f) Dla $x\ne4$:

$$f'(x)=\frac{x^2-8x+10}{(x-4)^2} =\frac{(x-4+\sqrt6)(x-4-\sqrt6)}{(x-4)^2}.$$

Pochodna jest dodatnia poza przedziałem $(4-\sqrt6;4+\sqrt6)$ i ujemna wewnątrz niego; część ujemności rozdziela $x=4$.

a)

$$f'(x)=3x^2-2x+7, \qquad \Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot7=-80<0.$$

Pochodna ma dodatni współczynnik przy $x^2$, więc jest dodatnia dla każdego $x$. Funkcja jest ściśle rosnąca.

b)

$$f'(x)=6x^2-8x+3, \qquad \Delta=(-8)^2-4\cdot6\cdot3=-8<0.$$

Także ta pochodna jest wszędzie dodatnia, zatem funkcja jest ściśle rosnąca.

c)

$$f'(x)=-3x^2-1<0$$

dla każdego $x$, więc funkcja jest ściśle malejąca.

Warunek konieczny ekstremum w $x_0=2$ ma postać $f'(2)=0$. Po jego zastosowaniu sprawdzimy rodzaj punktu za pomocą drugiej pochodnej.

a)

$$f'(x)=3x^2+6mx, \qquad f'(2)=12+12m.$$

Stąd $m=-1$. Wówczas $f''(x)=6x-6$, zatem $f''(2)=6>0$ i w $x=2$ rzeczywiście jest minimum.

b)

$$f'(x)=3x^2-2mx+6, \qquad f'(2)=18-4m.$$

Otrzymujemy $m=\frac92$. Wtedy $f''(x)=6x-9$, więc $f''(2)=3>0$ i punkt $x=2$ jest minimum.

a)

$$f'(x)=3mx^2-2x+1.$$

Z warunku $f'(-1)=0$ otrzymujemy

$$3m+3=0,$$

czyli $m=-1$. Dla tej wartości $f''(x)=-6x-2$, a $f''(-1)=4>0$, więc jest to minimum.

b)

$$f'(x)=x^2-2mx+5.$$

Warunek $f'(1)=0$ daje $6-2m=0$, zatem $m=3$. Wtedy $f''(x)=2x-6$ i $f''(1)=-4<0$, więc jest to maksimum.

a)

$$f'(x)=-3x^2+a.$$

Dla $a>0$ pochodna ma dwa proste miejsca zerowe i zmienia w nich znak, więc funkcja ma ekstrema. Dla $a<0$ pochodna jest wszędzie ujemna, a dla $a=0$ zeruje się jedynie w $0$ bez zmiany znaku. Brak ekstremum zachodzi zatem dokładnie dla $a\leq0$.

b)

$$f'(x)=3x^2-2x+a.$$

Funkcja nie ma ekstremum, gdy ten trójmian nie ma dwóch różnych miejsc zerowych, czyli gdy

$$\Delta=4-12a\leq0.$$

Stąd $a\geq\frac13$; przy równości pochodna tylko dotyka zera i nie zmienia znaku.

c) Dziedzina to $\mathbb R\setminus\{-3,3\}$, a

$$f'(x)=\frac{-ax^2-18x-9a}{(x^2-9)^2}.$$

Dla $a\ne0$ wyróżnik licznika wynosi

$$\Delta=324-36a^2=36(9-a^2).$$

Gdy $|a|>3$, licznik nie ma miejsc zerowych. Dla $a=3$ jego podwójne miejsce zerowe to $x=-3$, a dla $a=-3$ jest nim $x=3$; oba punkty są wyłączone z dziedziny. Natomiast dla $0<|a|<3$ występują dwa proste miejsca zerowe należące do dziedziny i znak pochodnej się zmienia. Dla $a=0$ pochodna zeruje się w $x=0$ i także zmienia znak. Zatem ekstremów nie ma dokładnie wtedy, gdy $|a|\geq3$.

a) Warunek $f(3)=1$ daje

$$\frac{9-3a+b}{-2}=1, \qquad b=3a-11.$$

Ponadto

$$f'(x)=\frac{x^2-10x+5a-b}{(x-5)^2}.$$

Z warunku $f'(3)=0$ mamy $b=5a-21$. Porównanie obu wyrażeń prowadzi do $a=5$ i $b=4$. Wówczas

$$f'(x)=\frac{(x-3)(x-7)}{(x-5)^2}.$$

Znak zmienia się w $x=3$ z $+$ na $-$, zatem jest tam maksimum równe $1$. W $x=7$ znak zmienia się z $-$ na $+$, więc funkcja ma jeszcze minimum $f(7)=9$.

b) Z warunku $f(2)=-1$ otrzymujemy $2a+b=2$. Licznik pochodnej ma postać

$$a(x-1)(x-4)-(ax+b)(2x-5).$$

Po podstawieniu $x=2$ jest on równy $b$, zatem warunek $f'(2)=0$ daje $b=0$, a następnie $a=1$. Wtedy

$$f'(x)=\frac{4-x^2}{((x-1)(x-4))^2}.$$

W otoczeniu $x=2$ pochodna zmienia znak z $+$ na $-$, więc wskazane ekstremum jest maksimum.

Mamy

$$f'(x)=1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}\geq0.$$

Pochodna zeruje się dla

$$x=(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb Z,$$

więc takich punktów jest nieskończenie wiele. W żadnym z nich pochodna nie zmienia jednak znaku: po obu stronach pozostaje nieujemna.

Zera pochodnej są izolowane, a na każdym niepustym przedziale pochodna jest dodatnia w części tego przedziału. Funkcja jest więc ściśle rosnąca na całej prostej i nie ma ekstremum.