MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 275

Badamy znak pochodnej w dziedzinie każdej funkcji.

a)

$$f'(x)=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1).$$

Pochodna ma znaki kolejno $-$, $+$, $-$, więc w $x=-1$ jest minimum, a w $x=1$ maksimum.

b)

$$f'(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2).$$

Znak zmienia się z $+$ na $-$ w $-1$ oraz z $-$ na $+$ w $2$.

c)

$$f'(x)=2x^2-6x-8=2(x+1)(x-4).$$

Stąd maksimum jest dla $x=-1$, a minimum dla $x=4$.

d)

$$f'(x)=12x^2(x-2).$$

W $x=0$ znak pochodnej się nie zmienia. Zmiana z $-$ na $+$ następuje dopiero w $x=2$, zatem tylko tam funkcja ma ekstremum — minimum.

e)

$$f'(x)=4x(x-1)(x-2).$$

Znaki pochodnej na kolejnych przedziałach to $-$, $+$, $-$, $+$. Otrzymujemy minima dla $x=0$ i $x=2$ oraz maksimum dla $x=1$.

f)

$$f'(x)=4x^2(x^2-3).$$

W $x=0$ nie ma zmiany znaku. W $x=-\sqrt3$ znak zmienia się z $+$ na $-$, a w $x=\sqrt3$ z $-$ na $+$.

g) Dla $x\ne0$:

$$f'(x)=1-\frac1{x^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}.$$

Pochodna jest dodatnia dla $|x|>1$ i ujemna dla $0<|x|<1$, zatem $x=-1$ daje maksimum, a $x=1$ minimum.

h) Dziedzina to $\mathbb R\setminus\{-2,2\}$, a

$$f'(x)=\frac{-8x}{(x^2-4)^2}.$$

Pochodna jest dodatnia dla $x<0$ i ujemna dla $x>0$ na odpowiednich składowych dziedziny. Jedynym ekstremum jest więc maksimum dla $x=0$.

i)

$$f'(x)=\frac{x^2+4-2x(x+1)}{(x^2+4)^2} =\frac{5-(x+1)^2}{(x^2+4)^2}.$$

Miejsca zerowe pochodnej to $x=-1-\sqrt5$ i $x=-1+\sqrt5$. Jej znaki są kolejno $-$, $+$, $-$, więc pierwszy punkt daje minimum, a drugi maksimum.

a)

$$f'(x)=-3x^2-3=-3(x^2+1)<0$$

dla każdego $x\in\mathbb R$. Funkcja jest ściśle malejąca na całej prostej, więc nie ma ekstremum.

b)

$$f'(x)=3x^2-12x+12=3(x-2)^2\geq0.$$

Pochodna zeruje się tylko w $x=2$ i nie zmienia tam znaku. Funkcja jest rosnąca na $\mathbb R$, więc w $x=2$ nie ma ekstremum.

c) Dziedzina to $\mathbb R\setminus\{0\}$. Ponieważ

$$f'(x)=-\frac{3x^2+1}{(x^3+x)^2}<0,$$

funkcja jest ściśle malejąca na każdym z przedziałów $(-\infty;0)$ i $(0;\infty)$. Pochodna nigdzie się nie zeruje, a wyłączony punkt $0$ nie należy do dziedziny, zatem funkcja nie ma ekstremum.

a) Mamy

$$f(x)=\begin{cases}x,&x\leq0,\\-x,&x\geq0.\end{cases}$$

Wykres tworzą dwie półproste spotykające się w $(0,0)$. Funkcja rośnie do $x=0$, a potem maleje, więc ma tam maksimum. Pochodne jednostronne wynoszą odpowiednio $1$ i $-1$, zatem nie istnieje ani pochodna, ani jedna styczna do wykresu w tym punkcie.

b)

$$f(x)=\begin{cases} x^2-4,&x\leq-2\ \text{lub}\ x\geq2,\\ 4-x^2,&-2\leq x\leq2. \end{cases}$$

W punktach $x=-2$ i $x=2$ funkcja ma minima. Gałęzie wykresu tworzą tam ostre załamania, więc pochodna i styczna nie istnieją. W $x=0$ funkcja ma maksimum lokalne; $f'(0)=0$, a styczna ma równanie $y=4$.

c) Dziedzina to $\mathbb R\setminus\{0\}$ i

$$f(x)=\begin{cases} 1-\frac1x,&x<0\ \text{lub}\ x\geq1,\\ \frac1x-1,&0<x\leq1. \end{cases}$$

Funkcja maleje na $(0;1\rangle$ i rośnie na $\langle1;\infty)$, więc ma minimum w $x=1$. Pochodne jednostronne wynoszą tam $-1$ i $1$; pochodna ani jedna styczna nie istnieją.