MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 272

W każdym podpunkcie uwzględniamy dziedzinę i badamy znak pochodnej.

a) Dla $x\ne0$:

$$f'(x)=1-\frac4{x^2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}.$$

Pochodna jest dodatnia dla $|x|>2$, a ujemna dla $0<|x|<2$.

b) Dla $x\ne0$:

$$f'(x)=8x-\frac1{x^2}=\frac{8x^3-1}{x^2}.$$

Ponieważ $x^2>0$, znak pochodnej zmienia się z ujemnego na dodatni w $x=\frac12$; przedział ujemności rozdziela wyłączony punkt $0$.

c) Dla $x\ne0$:

$$f'(x)=3x^2+\frac3{x^4}=\frac{3(x^6+1)}{x^4}>0.$$

d) Dla $x\ne0$:

$$f'(x)=4x^3-\frac4{x^5}=\frac{4(x^8-1)}{x^5}.$$

Na kolejnych przedziałach wyznaczonych przez $-1$, $0$, $1$ pochodna ma znaki $-$, $+$, $-$, $+$.

e)

$$f'(x)=\frac{2(x^2+1)-4x^2}{(x^2+1)^2} =\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}.$$

Pochodna jest dodatnia dla $-1<x<1$ i ujemna poza tym przedziałem.

f) Dla $x\ne3$:

$$f'(x)=\frac{2x(x-3)-(x^2+7)}{(x-3)^2} =\frac{(x+1)(x-7)}{(x-3)^2}.$$

Pochodna jest dodatnia dla $x<-1$ i $x>7$, a ujemna pomiędzy tymi punktami; przedział ujemności rozdziela $x=3$.

g) Dla $x\ne5$:

$$f'(x)=\frac{(2x-5)(5-x)+(x^2-5x+4)}{(5-x)^2} =\frac{-(x-3)(x-7)}{(5-x)^2}.$$

Pochodna jest dodatnia dla $3<x<7$ i ujemna poza tym przedziałem; przedział dodatniości rozdziela $x=5$.

h) Dla $x\ne-1,1$:

$$f'(x)=\frac{2x(x^2-1)-2x^3}{(x^2-1)^2} =\frac{-2x}{(x^2-1)^2}.$$

Pochodna jest dodatnia dla $x<0$ i ujemna dla $x>0$, z rozdzieleniem dziedziny w punktach $-1$ i $1$.

i)

$$f'(x)=\frac{x^2+1-2x(x-1)}{(x^2+1)^2} =\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}.$$

Licznik zeruje się dla $x=1-\sqrt2$ i $x=1+\sqrt2$; jest dodatni pomiędzy tymi punktami i ujemny poza nimi.

j) Dla $x\ne-1,1$:

$$f'(x)=\frac{4(x^2-1)-2x(4x-5)}{(x^2-1)^2} =\frac{-2(2x-1)(x-2)}{(x^2-1)^2}.$$

Pochodna jest dodatnia dla $\frac12<x<2$ i ujemna poza tym przedziałem; dziedzinę rozdzielają dodatkowo $-1$ i $1$.

k) Dla $x\ne-2,2$:

$$f'(x)=\frac{2(x+1)(x^2-4)-2x(x+1)^2}{(x^2-4)^2} =\frac{-2(x+1)(x+4)}{(x^2-4)^2}.$$

Pochodna jest dodatnia dla $-4<x<-1$, a ujemna poza tym przedziałem; dziedzinę rozdzielają $-2$ i $2$.

l) Dla $x\ne-3$:

$$f'(x)=\frac{4x(x+3)^2-4x^2(x+3)}{(x+3)^4} =\frac{12x}{(x+3)^3}.$$

Pochodna jest dodatnia dla $x<-3$ i $x>0$, a ujemna dla $-3<x<0$.

Ze skanu odczytujemy miejsca zerowe oraz znak wykresu funkcji $f'$.

a) Pochodna jest dodatnia w $(-2;0)\cup(3;\infty)$ i ujemna w $(-\infty;-2)\cup(0;3)$. Zatem funkcja rośnie między $-2$ i $0$ oraz od $3$, a maleje na pozostałych przedziałach.

b) Pochodna jest dodatnia w $(-\infty;-3)\cup(-1;\infty)$ i ujemna w $(-3;-1)$. Dodatkowe miejsce zerowe $x=1$, w którym wykres pochodnej tylko dotyka osi, nie zmienia jej znaku.

c) Pochodna jest dodatnia dla $x<0$ i $x>2$, a ujemna dla $0<x<2$. Punkty styczności wykresu pochodnej z osią w $x=-2$ i $x=1$ nie powodują zmiany znaku.

Aby wielomian był rosnący w $\mathbb R$, jego pochodna musi być nieujemna dla każdego $x$.

a)

$$f'(x)=x^2+3x+k.$$

Trójmian o dodatnim współczynniku przy $x^2$ jest nieujemny dla każdego $x$, gdy

$$\Delta=9-4k\leq0,$$

czyli $k\geq\frac94$.

b)

$$f'(x)=6x^2-6x+k, \qquad \Delta=36-24k.$$

Warunek $\Delta\leq0$ daje $k\geq\frac32$.

c)

$$f'(x)=3x^2+k+2.$$

Najmniejsza wartość pochodnej, osiągana dla $x=0$, wynosi $k+2$. Stąd $k\geq-2$.

d)

$$f'(x)=3x^2+2kx+3, \qquad \Delta=4k^2-36.$$

Warunek $\Delta\leq0$ jest równoważny $k^2\leq9$, czyli $-3\leq k\leq3$.

Aby wielomian był malejący w $\mathbb R$, jego pochodna musi być niedodatnia dla każdego $x$.

a)

$$f'(x)=-3x^2+2x+k.$$

Trójmian ma ujemny współczynnik przy $x^2$, więc jest niedodatni na całej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy

$$\Delta=4+12k\leq0.$$

Stąd $k\leq-\frac13$.

b)

$$f'(x)=-15x^2+k.$$

Największa wartość pochodnej, osiągana dla $x=0$, wynosi $k$. Warunkiem niedodatniości jest więc $k\leq0$.

a) Rozważmy funkcję

$$g(x)=x-\sin x.$$

Mamy $g(0)=0$, a dla $x\in(0;\frac\pi2)$:

$$g'(x)=1-\cos x>0.$$

Funkcja $g$ jest więc rosnąca i $g(x)>g(0)=0$. Oznacza to, że $\sin x<x$.

b) Korzystamy z wykazanej w przykładzie nierówności $\operatorname{tg}x>x$ i rozważamy

$$h(x)=\operatorname{tg}x-x-\frac13x^3.$$

Mamy $h(0)=0$. Ponadto dla $x\in(0;\frac\pi2)$:

$$h'(x)=\frac1{\cos^2x}-1-x^2 =\operatorname{tg}^2x-x^2>0,$$

bo $\operatorname{tg}x>x>0$. Zatem $h(x)>h(0)=0$, czyli

$$\operatorname{tg}x>x+\frac13x^3.$$