MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 271

Wszystkie funkcje są wielomianami, więc są ciągłe w $\mathbb R$. Badamy znaki ich pochodnych.

a) $f'(x)=3x^2+6>0$.

b) $f'(x)=6x^2+2>0$.

c) $f'(x)=3x^2+6x+3=3(x+1)^2\geq0$; pochodna zeruje się tylko dla $x=-1$.

d) $f'(x)=6x^2+6x+12=6(x^2+x+2)>0$, ponieważ trójmian $x^2+x+2$ ma ujemną deltę i dodatni współczynnik przy $x^2$.

e) $f'(x)=5x^4+1>0$.

f) $f'(x)=15x^4+4>0$.

W każdym podpunkcie pochodna jest dodatnia, z wyjątkiem co najwyżej jednego punktu, w którym jest równa $0$. Każda z funkcji jest więc rosnąca.

Wszystkie funkcje są wielomianami, więc są ciągłe w $\mathbb R$.

a) $f'(x)=-3x^2-1<0$.

b) $f'(x)=-6x^2-15<0$.

c) $f'(x)=-6x^2+2x-7<0$, ponieważ ten trójmian ma ujemną deltę i ujemny współczynnik przy $x^2$.

d) $f'(x)=-3x^2+12x-12=-3(x-2)^2\leq0$; pochodna zeruje się tylko dla $x=2$.

e) $f'(x)=-10x^4-1<0$.

f) $f'(x)=-7x^6-4<0$.

W każdym przypadku pochodna jest ujemna, z wyjątkiem co najwyżej jednego punktu, w którym jest równa $0$. Każda funkcja jest więc malejąca.

a)

$$f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2).$$

Pochodna jest ujemna dla $x<0$ i $x>2$, a dodatnia dla $0<x<2$. Ponieważ wielomian jest ciągły, funkcja maleje do $x=0$, rośnie od $x=0$ do $x=2$ i następnie znów maleje.

b)

$$f'(x)=\frac{-6(x^2+1)+12x^2}{(x^2+1)^2} =\frac{6(x^2-1)}{(x^2+1)^2}.$$

Mianownik jest dodatni, więc $f'(x)>0$ dla $x<-1$ i $x>1$, natomiast $f'(x)<0$ dla $-1<x<1$. Funkcja jest ciągła w $\mathbb R$.

Funkcje są wielomianami, więc po znalezieniu miejsc zerowych pochodnej włączamy punkty graniczne do odpowiednich przedziałów monotoniczności.

a)

$$f'(x)=\frac14x^2-1=\frac14(x-2)(x+2).$$

Znaki pochodnej na kolejnych przedziałach: $+$, $-$, $+$.

b)

$$f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2).$$

Znaki: $+$, $-$, $+$.

c)

$$f'(x)=3x^2+18x-21=3(x+7)(x-1).$$

Znaki: $+$, $-$, $+$.

d)

$$f'(x)=-x^2+8x-12=-(x-2)(x-6).$$

Znaki: $-$, $+$, $-$.

e)

$$f'(x)=12x^3+12x^2=12x^2(x+1).$$

Pochodna jest ujemna dla $x<-1$ i dodatnia dla $x>-1$, poza zerami w punktach $-1$ i $0$.

f)

$$f'(x)=4x^3-4x^2-16x+16 =4(x+2)(x-1)(x-2).$$

Znaki: $-$, $+$, $-$, $+$.

g)

$$f'(x)=4x^3-12x+8=4(x+2)(x-1)^2.$$

Pochodna jest ujemna dla $x<-2$ i dodatnia dla $x>-2$, z dodatkowym zerem bez zmiany znaku w $x=1$.

h)

$$f'(x)=-x^3-6x^2+4x+24 =-(x+6)(x+2)(x-2).$$

Znaki: $+$, $-$, $+$, $-$.

W każdym podpunkcie badamy znak pochodnej; funkcje są wielomianami, więc są ciągłe w $\mathbb R$.

a)

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Pochodna jest dodatnia poza przedziałem $[-1;1]$ i ujemna w jego wnętrzu.

b)

$$f'(x)=5x^4-20=5(x^2-2)(x^2+2).$$

Znak zmienia się w punktach $-\sqrt2$ i $\sqrt2$.

c)

$$f'(x)=4x^3-10x=2x(2x^2-5).$$

Miejsca zerowe pochodnej to $-\frac{\sqrt{10}}2$, $0$ i $\frac{\sqrt{10}}2$; jej znaki na kolejnych przedziałach to $-$, $+$, $-$, $+$.

d)

$$f'(x)=2(x+3)(x-1)+(x+3)^2=(x+3)(3x+1).$$

Pochodna jest dodatnia poza przedziałem $[-3;-\frac13]$ i ujemna w jego wnętrzu.

e)

$$f'(x)=30x^4+15x^2=15x^2(2x^2+1)\geq0.$$

Pochodna zeruje się tylko dla $x=0$, zatem funkcja jest rosnąca na całej prostej.

f)

$$f'(x)=3x^2-8x=x(3x-8).$$

Pochodna jest dodatnia dla $x<0$ i $x>\frac83$, a ujemna dla $0<x<\frac83$.

a) Dziedziną jest $\mathbb R\setminus\{2\}$, a

$$f'(x)=\frac{2(x-2)-(2x-1)}{(x-2)^2} =\frac{-3}{(x-2)^2}<0.$$

Funkcja maleje na każdej składowej dziedziny.

b) Dziedziną jest $\mathbb R\setminus\{-8\}$, a

$$f'(x)=\frac{x+8-(x+1)}{(x+8)^2} =\frac7{(x+8)^2}>0.$$

Funkcja rośnie na każdej składowej dziedziny.

c) Dziedziną jest $\mathbb R\setminus\{4\}$, a

$$f'(x)=\frac{2x(x-4)-(x^2-7)}{(x-4)^2} =\frac{(x-1)(x-7)}{(x-4)^2}.$$

Pochodna jest dodatnia dla $x<1$ i $x>7$, a ujemna dla $1<x<7$; przedział ujemności trzeba rozdzielić w wyłączonym z dziedziny punkcie $4$.