MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 267

Na Ziemi drogę swobodnego spadku opisuje funkcja $s_Z(t)=4{,}9t^2$, więc

$$v_Z(t)=s_Z'(t)=9{,}8t.$$

W chwili $t=4$:

$$v_Z(4)=39{,}2\ \mathrm{m/s} =39{,}2\cdot3{,}6\ \mathrm{km/h} =141{,}12\ \mathrm{km/h}.$$

Na Marsie mamy

$$v_M(t)=s_M'(t)=3{,}7t,$$

zatem

$$v_M(4)=14{,}8\ \mathrm{m/s} =14{,}8\cdot3{,}6\ \mathrm{km/h} =53{,}28\ \mathrm{km/h}.$$

Prędkość jest pochodną wysokości względem czasu:

$$v(t)=h'(t)=18{,}5-3{,}7t.$$

W chwili $t=5$ otrzymujemy

$$v(5)=18{,}5-3{,}7\cdot5=18{,}5-18{,}5=0\ \mathrm{m/s}.$$

Ciało znajduje się wtedy w najwyższym punkcie toru i chwilowo się zatrzymuje.

Przyspieszenie jest pochodną prędkości: $a(t)=v'(t)$.

a)

$$a(t)=(4t)'=4,\qquad a(1)=a(4)=4.$$

b)

$$a(t)=(t^2-t)'=2t-1.$$

Zatem $a(1)=1$ oraz $a(4)=7$.

c)

$$a(t)=(t^3-4t^2+t)'=3t^2-8t+1.$$

Stąd

$$a(1)=3-8+1=-4,\qquad a(4)=48-32+1=17.$$

Prędkość jest pochodną wysokości:

$$v(t)=h'(t)=24{,}5-9{,}8t.$$

Przyspieszenie jest pochodną prędkości, więc

$$a(t)=v'(t)=-9{,}8.$$