MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 254

Ze skanu odczytujemy

$$P=(1,2),\qquad A=(4,4),\qquad B=(9,6).$$

a) Dla siecznej $PA$:

$$a_{PA}=\frac{4-2}{4-1}=\frac23, \qquad y-2=\frac23(x-1),$$

czyli $y=\frac23x+\frac43$.

Dla siecznej $PB$:

$$a_{PB}=\frac{6-2}{9-1}=\frac12, \qquad y-2=\frac12(x-1),$$

czyli $y=\frac12x+\frac32$.

b) Współczynnik stycznej w punkcie $P$ jest równy

$$f'(1)=\lim_{x\to1}\frac{2\sqrt{x}-2}{x-1} =\lim_{x\to1}\frac{2}{\sqrt{x}+1}=1.$$

Korzystamy z zależności $\tan\alpha=f'(x_0)$, gdzie $\alpha\in[0^\circ;180^\circ)$.

a) Punkt styczności to $\left(-\frac12,\frac14\right)$. Ponieważ $f'(x)=2x$, mamy $f'(-\frac12)=-1$, więc $\alpha=135^\circ$.

b) $f'(x)=-1/x^2$, zatem $f'(1)=-1$ i $\alpha=135^\circ$.

c) $f'(x)=1/(2\sqrt{x})$, więc

$$f'\left(\frac14\right) =\frac{1}{2\sqrt{\frac14}}=1,$$

a stąd $\alpha=45^\circ$.

Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy $f'(x_0)$, a kąt $\alpha\in[0^\circ;180^\circ)$ spełnia $\tan\alpha=f'(x_0)$.

a) $f'(x)=2x$, więc $f'(1)=2$ i $\alpha=\arctan 2\approx63^\circ$.

b) $f'(x)=3x^2$, więc $f'(-1)=3$ i $\alpha=\arctan 3\approx72^\circ$.

c) $f'(x)=-1/x^2$, zatem $f'(2)=-\frac14$. Ponieważ współczynnik jest ujemny,

$$\alpha=180^\circ-\arctan\frac14\approx166^\circ.$$

Porównujemy jednostronne granice ilorazu różnicowego.

a) Mamy $f(2)=0$. Dla $x>2$ jest $f(x)=x-2$, a dla $x<2$ mamy $f(x)=2-x$. Zatem

$$\lim_{x\to2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=1, \qquad \lim_{x\to2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=-1.$$

Granice są różne, więc $f'(2)$ nie istnieje.

b) Mamy $f(0)=0$. Dla $x>0$ jest $f(x)=2x$, a dla $x<0$ mamy $f(x)=0$. Stąd

$$\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}x=2, \qquad \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}x=0.$$

Także w tym przypadku pochodna nie istnieje.