MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 252

Drugi punkt siecznej ma współrzędne $(t,t^2)$. Jej współczynnik kierunkowy wynosi

$$a=\frac{t^2-0}{t-0}=t.$$

Zatem dla $t=1,2,3$ otrzymujemy kolejno $a=1,2,3$.

Punkty siecznej to

$$P_0=(1,f(1))=(1,0),\qquad P_1=(2,f(2))=(2,-1).$$

Stąd

$$a=\frac{-1-0}{2-1}=-1.$$

Sieczna ma równanie $y=-x+1$. Wykres funkcji jest parabolą skierowaną ramionami w dół, z wierzchołkiem w punkcie $(1,0)$.

Korzystamy z definicji pochodnej w punkcie.

a)

$$f'(1)=\lim_{x\to1}\frac{2x-2}{x-1}=2.$$

b)

$$f'(4)=\lim_{x\to4}\frac{2x^2-32}{x-4} =\lim_{x\to4}2(x+4)=16.$$

c)

$$f'(-2)=\lim_{x\to-2}\frac{\frac12x^2-2}{x+2} =\lim_{x\to-2}\frac{x-2}{2}=-2.$$

d)

$$f'(3)=\lim_{x\to3}\frac{\frac13x^3-9}{x-3} =\lim_{x\to3}\frac{x^2+3x+9}{3}=9.$$