MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 250

W każdym podpunkcie lewa strona równania, po przeniesieniu wszystkich wyrazów na jedną stronę, jest wielomianem, a więc funkcją ciągłą.

a) Dla $F(x)=x^3+2x+1$ mamy

$$F(-1)=-2<0, \qquad F(0)=1>0.$$

b) Dla $F(x)=x^4-7x-4$:

$$F(-1)=4>0, \qquad F(0)=-4<0.$$

c) Przyjmujemy $F(x)=x^6-3x^3-1$. Wtedy

$$F(-1)=3>0, \qquad F(0)=-1<0.$$

Wartości na końcach przedziału mają w każdym przypadku przeciwne znaki, więc z twierdzenia o wartości pośredniej wynika istnienie miejsca zerowego w $(-1;0)$.

W każdym podpunkcie rozpatrujemy ciągły wielomian otrzymany po przeniesieniu wszystkich wyrazów na lewą stronę.

a) Dla $F(x)=x^3-4x+1$ mamy

$$F(0)=1>0, \qquad F(1)=-2<0.$$

Istnieje więc rozwiązanie w $(0;1)$.

b) Dla $F(x)=x^3-x^2+x+1$:

$$F(-1)=-2<0, \qquad F(0)=1>0.$$

Stąd istnieje rozwiązanie w $(-1;0)$.

c) Dla $F(x)=x^4+2x^3-4$ otrzymujemy

$$F(1)=-1<0, \qquad F(2)=28>0.$$

Zatem istnieje rozwiązanie w $(1;2)$.

W każdym przypadku badamy ciągły wielomian uzyskany po przeniesieniu wszystkich wyrazów na lewą stronę równania.

a) Dla $F(x)=2x^3+4x-1$:

$$F(0)=-1<0, \qquad F\left(\frac12\right)=\frac54>0.$$

Rozwiązanie należy do $\left(0;\frac12\right)$.

b) Dla $F(x)=2x^3-6x^2+3$:

$$F\left(\frac12\right)=\frac74>0, \qquad F(1)=-1<0.$$

Rozwiązanie należy do $\left(\frac12;1\right)$.

c) Dla $F(x)=x^4-3x^3+3$:

$$F(1)=1>0, \qquad F\left(\frac32\right)=-\frac{33}{16}<0.$$

Rozwiązanie należy do $\left(1;\frac32\right)$.

Korzystamy ze wzoru funkcji; odczytanie wykresu nie jest konieczne.

a) Dla $x\in[-4;-3]$ mamy $|x|=-x$, zatem $f(x)=(x+2)^2$. Funkcja przyjmuje na tym przedziale wartości od $f(-3)=1$ do $f(-4)=4$.

b) W przedziale $[-3;3]$ najmniejszą wartością jest $f(-2)=f(2)=0$, a największą $f(0)=4$.

c) W przedziale $[-1;5]$ wartość najmniejsza to $f(2)=0$, natomiast największa to $f(5)=9$.

W każdym podpunkcie przenosimy prawą stronę równania na lewą. Otrzymane funkcje są ciągłe w przedziale $[2;4]$.

a) Niech

$$F(x)=\frac2{x^2}-\sqrt{x}+1.$$

Wtedy

$$F(2)=\frac32-\sqrt2>0, \qquad F(4)=-\frac78<0.$$

b) Dla

$$F(x)=\log_2x-\frac32x+3$$

mamy

$$F(2)=1>0, \qquad F(4)=-1<0.$$

c) Przyjmujemy

$$F(x)=4\sin\frac{\pi x}{8}-\frac92+\frac x2.$$

Wówczas

$$F(2)=2\sqrt2-\frac72<0, \qquad F(4)=\frac32>0.$$

W każdym podpunkcie funkcja zmienia znak między $2$ i $4$, więc na mocy twierdzenia o wartości pośredniej ma miejsce zerowe w $(2;4)$.

a) Wykres jest parabolą o wierzchołku $(2;0)$ i ramionach skierowanych w górę. Na $[2;4]$ funkcja rośnie, więc największą wartość przyjmuje dla $x=4$:

$$f(4)=4.$$

b) Jest to parabola o wierzchołku $(3;1)$ i ramionach skierowanych w dół. Jej największa wartość w rozpatrywanym przedziale wynosi

$$f(3)=1.$$

c) Wykres funkcji $y=x^3$ przesuwamy o $4$ jednostki w prawo. Funkcja jest rosnąca, zatem na $[2;4]$ największą wartość osiąga na prawym końcu:

$$f(4)=0.$$

a) Na przedziale $[-1;0)$ gałąź $x+4$ przyjmuje wartości z $[3;4)$, a na $[0;1]$ gałąź $4-x^2$ przyjmuje wartości z $[3;4]$. Wartość $3$ jest osiągana dla $x=-1$ oraz $x=1$, więc jest wartością najmniejszą funkcji.

b) Dla $x\in(0;1]$ wartości $\sqrt{x}$ tworzą przedział $(0;1]$, a dla $x\in(1;4]$ funkcja ma stałą wartość $1$. Cały zbiór wartości to zatem $(0;1]$. Liczba $0$ jest kresem dolnym, lecz nie jest osiągana, bo $0$ nie należy do dziedziny. Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.

Najpierw ustalamy zbiór wartości funkcji $f$. Pierwsza gałąź przyjmuje wartości z $(-4;8]$, druga z $[-4;5]$, a trzecia z $[0;4)$. Zatem

$$W_f=[-4;8].$$

a) Wykres $g(x)=f(x-2)+1$ powstaje przez przesunięcie wykresu $f$ o $2$ jednostki w prawo i o $1$ jednostkę w górę. Przesunięcie poziome nie zmienia wartości, a pionowe zwiększa każdą z nich o $1$, więc

$$W_g=[-3;9].$$

b) Przekształcenie $g(x)=|f(x)|$ odbija część wykresu leżącą poniżej osi $OX$ nad tę oś. Ponieważ $f$ przyjmuje wszystkie wartości z $[-4;8]$, otrzymujemy

$$W_g=[0;8].$$

c) W funkcji $g(x)=f(|x|)$ wykorzystujemy tylko część wykresu $f$ dla argumentów z $[0;5]$, a następnie odbijamy ją symetrycznie względem osi $OY$. Na $[0;5]$ funkcja $f$ przyjmuje wartości od $0$ do $5$, więc

$$W_g=[0;5].$$

Dla kolejnych liczb naturalnych $n=1,2,\ldots,6$ wartości

$$f(n)=(-2)^n$$

mają znaki naprzemienne: są ujemne dla nieparzystych $n$ i dodatnie dla parzystych $n$. Funkcja jest ciągła, więc na każdym z pięciu przedziałów

$$(1;2),\ (2;3),\ (3;4),\ (4;5),\ (5;6)$$

przyjmuje wartość $0$. Przedziały te są rozłączne, zatem otrzymane miejsca zerowe są różne.