MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 247

Z definicji ciągłości wystarczy sprawdzić, czy granica funkcji w podanym punkcie jest równa jej wartości w tym punkcie.

a) Wielomian jest ciągły, a ponadto

$$\lim_{x\to\frac12}(2x^2+1) =2\left(\frac12\right)^2+1 =\frac32 =f\left(\frac12\right).$$

b) Mianownik nie zeruje się dla $x=1$, więc

$$\lim_{x\to1}\frac{x+1}{x-2} =\frac{1+1}{1-2} =-2 =f(1).$$

Poza punktami łączenia każda gałąź jest ciągła. Sprawdzamy więc tylko te punkty.

a) Dla $x=3$ granice jednostronne wynoszą odpowiednio $6$ i $13$, więc funkcja jest nieciągła w $3$.

b) Dla $x\ne4$ mamy

$$\frac{4x-x^2}{x-4}=-x.$$

Granica w $4$ wynosi $-4$, a $f(4)=0$, więc funkcja jest nieciągła w $4$.

c) Dla $x\ne0$ mamy $f(x)=1-2x$. Granica w $0$ wynosi $1$, lecz $f(0)=0$, więc funkcja jest nieciągła w $0$.

d) Dla $x\ne3$:

$$\frac{x^2-2x-3}{x-3}=x+1.$$

Granica w $3$ jest równa $4=f(3)$, zatem funkcja jest ciągła.

e) Dla $x\ne1$:

$$\frac{x^2+x-2}{1-x}=-(x+2).$$

Granica w $1$ wynosi $-3$, natomiast $f(1)=3$, więc funkcja jest nieciągła w $1$.

f) W punktach $-1$ i $1$ mianownik dąży do zera, a licznik do $-8$. Nie istnieją tam skończone granice, więc przypisanie wartości $1$ nie zapewnia ciągłości.

Warunek ciągłości zapisujemy w punkcie, w którym zmienia się wzór funkcji.

a) $1+a=3$, zatem $a=2$.

b) $9-3a=3-6=-3$, więc $a=4$.

c)

$$2a+1=4-a^2,$$

czyli $(a+3)(a-1)=0$. Stąd $a=-3$ lub $a=1$.

d)

$$a+a^2=3-a,$$

więc ponownie $(a+3)(a-1)=0$ i $a=-3$ lub $a=1$.

Dla każdej liczby całkowitej $n$ mamy

$$\lim_{x\to n^-}[x]=n-1, \qquad \lim_{x\to n^+}[x]=[n]=n.$$

Granice jednostronne są różne, więc funkcja jest nieciągła w każdym punkcie całkowitym. Jeśli $x$ nie jest całkowity, funkcja jest stała w pewnym otoczeniu $x$, a zatem jest tam ciągła.

a) Dla $x\ne0,1$:

$$\frac{x^3-x}{x^2-x}=x+1.$$

Ciągłość w $0$ wymaga $a^3-7=1$, więc $a=2$. Ciągłość w $1$ wymaga $2\sin b=2$, czyli

$$b=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

b) Po usunięciu niewymierności, dla $x\ne-2,2$:

$$\frac{\sqrt{x^2+5}-3}{x^2-4} =\frac1{\sqrt{x^2+5}+3}.$$

Granica w obu punktach $-2$ i $2$ wynosi $\frac16$. Zatem

$$a^2-\frac16a=\frac16 \quad\Longleftrightarrow\quad 6a^2-a-1=0,$$

skąd $a=-\frac13$ lub $a=\frac12$. Ponadto

$$\frac13\cos b=\frac16,$$

więc

$$b=-\frac{\pi}{3}+2k\pi \quad\text{lub}\quad b=\frac{\pi}{3}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

a) Aby lewa granica w $-3$ była skończona, licznik musi zawierać czynnik $x+3$, zatem $a=3$. Wtedy

$$\frac{x+3}{(x+3)(x-2)}=\frac1{x-2} \longrightarrow-\frac15.$$

Warunki zgodności z wartością i prawą granicą mają postać

$$b-1=-\frac15, \qquad 2c=-\frac15.$$

Stąd $b=\frac45$ i $c=-\frac1{10}$.

b) W punkcie $3$ prawa granica jest skończona tylko dla $c=2$. Wtedy

$$\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3} =\frac1{\sqrt{x+1}+2} \longrightarrow\frac14.$$

Zatem $3b+1=\frac14$, czyli $b=-\frac14$. W punkcie $2$ otrzymujemy

$$-\frac a2=2b+1=\frac12,$$

więc $a=-1$.