MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 245

a) Granice jednostronne są różne:

$$\lim_{x\to0^-}(-x)=0,\qquad \lim_{x\to0^+}(x^2+1)=1.$$

Granica w punkcie $0$ nie istnieje, więc funkcja nie jest tam ciągła. Na wykresie lewa gałąź ma pełny punkt $(0,0)$, a prawa pusty punkt $(0,1)$.

b) Dla $x\ne0$ wykres jest parabolą $y=x^2-1$, zatem

$$\lim_{x\to0}f(x)=-1,\qquad f(0)=0.$$

Granica nie jest równa wartości funkcji. Na paraboli jest pusty punkt $(0,-1)$, a osobno pełny punkt $(0,0)$.

Warunek ciągłości w punkcie $2$ ma postać $\lim_{x\to2}f(x)=f(2)$.

a) Dla $x\ne2$:

$$\frac{x^2-4x+4}{x-2} =\frac{(x-2)^2}{x-2}=x-2.$$

Granica w punkcie $2$ wynosi $0$, a $f(2)=a$, więc $a=0$.

b)

$$\lim_{x\to2}(x^3-x^2-x)=8-4-2=2.$$

Ponieważ $f(2)=a^2$, warunek ciągłości to $a^2=2$, czyli $a=\pm\sqrt2$.