MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 243

Usuwamy nieoznaczoną postać przez pomnożenie przez wyrażenie sprzężone.

a)

$$\sqrt{x^2+9}-x =\frac9{\sqrt{x^2+9}+x}\longrightarrow0.$$

b)

$$\frac1{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}} =\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}4\longrightarrow\infty.$$

c)

$$\sqrt{x^2+1}-x =\frac1{\sqrt{x^2+1}+x}\longrightarrow0.$$

a)

$$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}} =x^{1/2-1/3}=x^{1/6}\longrightarrow\infty.$$

b) Dla $x\to-\infty$ mamy

$$\sqrt{x^2}=|x|=-x\longrightarrow\infty.$$

c) Niech $t=-x\to\infty$. Wtedy

$$\sqrt{-x}\cdot\sqrt[3]{x^2} =t^{1/2}t^{2/3}=t^{7/6}\longrightarrow\infty.$$

a) $1/(x^2+1)\to0$ dla $x\to\pm\infty$, więc asymptotą jest $y=0$ w obu kierunkach.

b) Iloraz współczynników wiodących wynosi $2$, więc asymptotą jest $y=2$ w $\pm\infty$.

c) Iloraz współczynników wiodących wynosi $-6/2=-3$, więc asymptotą jest $y=-3$ w $\pm\infty$.

d) Iloraz współczynników wiodących wynosi $5$, więc asymptotą jest $y=5$ w $\pm\infty$.

e) Dziedzina biegnie tylko ku $\infty$, a

$$\frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x-1}} =\sqrt{\frac{1-4/x}{1-1/x}}\longrightarrow1.$$

Asymptotą jest $y=1$ w $\infty$.

f) Dziedzina biegnie tylko ku $-\infty$, a

$$\frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{3-x}} =\sqrt{\frac{1-4/x}{1-3/x}}\longrightarrow1.$$

Asymptotą jest $y=1$ w $-\infty$.

Asymptotę poziomą wyznaczamy z ilorazu wyrazów wiodących, a pionową z nieusuwalnego miejsca zerowego mianownika.

a) Mianownik znika dla $x=1$, a iloraz współczynników wiodących wynosi $1$. Asymptoty: $x=1$ i $y=1$.

b) Mianownik znika dla $x=4$, a granica w $\pm\infty$ wynosi $-2$. Asymptoty: $x=4$ i $y=-2$.

c) Mianownik znika dla $x=\frac23$, a granica w $\pm\infty$ wynosi $2$. Asymptoty: $x=\frac23$ i $y=2$.

d) Mianownik $(x-2)(x+2)$ daje asymptoty $x=-2$, $x=2$; ponadto $f(x)\to0$ w $\pm\infty$.

e) Mianownik $(3-x)(3+x)$ daje asymptoty $x=-3$, $x=3$; asymptotą poziomą jest $y=0$.

f)

$$\frac{5-x}{x^2-25}=-\frac1{x+5}\quad(x\ne5).$$

Punkt $x=5$ jest dziurą. Asymptoty to $x=-5$ i $y=0$.

g) Mianownik $(x-2)(x+1)$ nie skraca się z licznikiem. Asymptoty: $x=-1$, $x=2$ oraz $y=2$.

h) Mianownik $(x-5)(x+1)$ nie skraca się z licznikiem. Asymptoty: $x=-1$, $x=5$ oraz $y=0$.

i)

$$\frac{x^3-1}{x^3+x-2} =\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x^2+x+2)}.$$

Punkt $x=1$ jest usuwalną nieciągłością, a trójmian $x^2+x+2$ nie ma miejsc zerowych. Nie ma asymptoty pionowej; asymptotą poziomą jest $y=1$.

Najpierw wyznaczamy dziedzinę wyrażenia pod pierwiastkiem.

a)

$$D_f=\left(-\infty;\frac14\right]\cup(1;\infty).$$

Dla $x\to\pm\infty$ wyrażenie pod pierwiastkiem dąży do $4$, więc asymptotą jest $y=2$. Ponadto dla $x\to1^+$ funkcja dąży do $\infty$, zatem $x=1$ jest asymptotą pionową prawostronną.

b)

$$D_f=\left(-\infty;\frac19\right]\cup(1;\infty).$$

Granica w $\pm\infty$ wynosi $3$, a dla $x\to1^+$ funkcja dąży do $\infty$. Asymptoty to $y=3$ oraz prawostronna $x=1$.

c) Analiza znaków ilorazu daje

$$D_f=(-\infty;-2)\cup\left[-\frac14;\frac14\right]\cup(2;\infty).$$

W $\pm\infty$ funkcja dąży do $4$. Przy $x\to-2^-$ oraz $x\to2^+$ dąży do $\infty$. Otrzymujemy asymptotę poziomą $y=4$, lewostronną asymptotę $x=-2$ i prawostronną asymptotę $x=2$.

a) Dla $x\to\infty$ mamy $|x|=x$, więc

$$\frac{\sqrt{1+4x^2}}x =\sqrt{4+\frac1{x^2}}\longrightarrow2.$$

b) Dla $x\to-\infty$ mamy $|x|=-x$, zatem

$$\frac{\sqrt{1+4x^2}}x =-\sqrt{4+\frac1{x^2}}\longrightarrow-2.$$

c) Dla $x\to\infty$ wyłączamy odpowiednie potęgi $x$:

$$\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt[3]{8x^3+3}} =\frac{x\sqrt{1-1/x^2}}{x\sqrt[3]{8+3/x^3}} \longrightarrow\frac12.$$

Rozważmy dwa ciągi argumentów:

$$x_n=\frac\pi2+2\pi n,\qquad y_n=\frac{3\pi}2+2\pi n.$$

Oba dążą do $\infty$, ale

$$\sin x_n=1,\qquad \sin y_n=-1$$

dla każdego $n$. Gdyby istniała granica $\sin x$ w $\infty$, oba ciągi wartości musiałyby dążyć do tej samej liczby. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że granica nie istnieje.