MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 242

Decyduje wyraz najwyższego stopnia.

a) Dla $x\to-\infty$ wielomian zachowuje się jak $2x^5$, więc dąży do $-\infty$.

b) Dla $x\to\infty$ dominuje $2x^3$, zatem granica wynosi $\infty$.

c) Mamy $(x^2-1)^4\sim x^8$, więc granica wynosi $\infty$.

Dla ilorazów wielomianów porównujemy wyrazy wiodące.

a) $4x/(x-2)\to4$.

b) $(1-6x)/(2x+1)\to-3$.

c) $(6x^2+x+1)/(x-3x^2)\to-2$.

d) $(5x^2-2x+1)/(1-x^2)\to-5$.

e) $(2x^3-1)/(x^3-3x+2)\to2$.

f) $(4x^4-x^3+1)/(x-2x^4)\to-2$.

g) Stopień licznika jest mniejszy, więc granica wynosi $0$.

h) Stopień licznika jest mniejszy, więc granica wynosi $0$.

i) Stopień licznika jest mniejszy, więc granica wynosi $0$.

W pozostałych podpunktach ilorazy zachowują się następująco:

$$\text{j)}\ -2x\to-\infty,\qquad \text{k)}\ -\frac{x}{2}\to\infty,\qquad \text{l)}\ -2x\to\infty.$$

Porównujemy iloczyny czynników najwyższego stopnia.

a)

$$\frac{(x-1)(1-x)}{(1-6x)(x+1)} \sim\frac{-x^2}{-6x^2}=\frac16.$$

b)

$$\frac{x(2x+1)(3x-1)}{(x+1)(x^2-4)} \sim\frac{6x^3}{x^3}=6.$$

c)

$$\frac{(x+1)^2(4x-1)}{(2x-1)^2(3-x)} \sim\frac{4x^3}{-4x^3}=-1.$$

Skan strony pokazuje, że w b) i c) argument dąży do $-\infty$; minusy zginęły w OCR.

a) Dla $x\to\infty$ dominuje wyraz $-x^3$, zatem

$$100+x-x^3\longrightarrow-\infty.$$

b) Dla $x\to-\infty$ wyłączamy $x^4$:

$$\frac{x^4}{10}+2x^3+x^2 =x^4\left(\frac1{10}+\frac2x+\frac1{x^2}\right) \longrightarrow\infty.$$

c) Gdy $x\to-\infty$, mamy $x^3+x\to-\infty$, więc

$$(x^3+x)^3\longrightarrow-\infty.$$

Porównujemy stopnie i współczynniki wyrazów wiodących.

a)

$$\frac{-3x^2+2x}{1-x^2}\longrightarrow\frac{-3}{-1}=3.$$

b) Iloraz zachowuje się jak $4x$, więc dla $x\to-\infty$ dąży do $-\infty$.

c) Stopień licznika jest mniejszy niż mianownika, zatem granica wynosi $0$.

d) Iloraz wyrazów wiodących $x^4/x^4$ daje granicę $1$.

e) Dzieląc przez $x$, otrzymujemy

$$\frac{4-10/x}{1+1/\sqrt{x}}\longrightarrow4.$$

f) Mianownik zachowuje się jak $-x$, więc iloraz dąży do $0$.