MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 241

Definicje formułujemy za pomocą dowolnych ciągów argumentów należących do dziedziny funkcji.

a) Jeśli $f$ jest określona w pewnym przedziale $(a;\infty)$, to

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty$$

oznacza, że dla każdego ciągu $x_n\to\infty$ zachodzi $f(x_n)\to-\infty$.

b) Jeśli $f$ jest określona w pewnym przedziale $(-\infty;b)$, to

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty$$

oznacza, że dla każdego ciągu $x_n\to-\infty$ zachodzi $f(x_n)\to\infty$.

c) W tych samych założeniach

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$$

oznacza, że dla każdego ciągu $x_n\to-\infty$ zachodzi $f(x_n)\to-\infty$.

Korzystamy z zachowania potęg dla dużych wartości $|x|$.

a) Wykres $y=x$ jest prostą rosnącą, więc

$$\lim_{x\to\infty}x=\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}x=-\infty.$$

b) Wykres $y=x^2$ jest parabolą skierowaną ramionami w górę, zatem

$$\lim_{x\to\infty}x^2=\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}x^2=\infty.$$

c) Wykres $y=x^3$ jest rosnącą krzywą nieparzystą, więc

$$\lim_{x\to\infty}x^3=\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty.$$

a)

$$\frac{x^{10}}{x^5}=x^5\longrightarrow-\infty \qquad (x\to-\infty).$$

b)

$$\frac{(-x^3)^2}{x^4}=\frac{x^6}{x^4}=x^2 \longrightarrow\infty.$$

c) Dla $x>0$:

$$\frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}\longrightarrow\infty.$$

d)

$$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[5]{x}} =x^{1/2-1/5}=x^{3/10}\longrightarrow\infty.$$