Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 240

rozdział 4. Rachunek rozniczkowy · temat „*4.5. Granica funkcji w nieskończoności” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 1

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech $f$ będzie funkcją określoną w przedziale $(-\infty;b)$ . Liczba $g$ jest granicą funkcji $f$ w $-\infty$ , jeżeli dla każdego ciągu $(x_n)$ rozbieżnego do $-\infty$ , którego wyrazy należą do dziedziny $f$ , ciąg wartości $(f(x_n))$ jest zbieżny do $g$ .

Odpowiedź

\lim_{x\to-\infty}f(x)=g \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(x_n\to-\infty\Longrightarrow f(x_n)\to g\bigr)

dla każdego dopuszczalnego ciągu $(x_n)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Ćwiczenie 2

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Dzielimy licznik i mianownik przez $x$ :

\frac{6-4x}{1+2x}=\frac{6/x-4}{1/x+2}\longrightarrow-2

zarówno dla $x\to\infty$ , jak i dla $x\to-\infty$ .

b) Dzieląc przez $x^2$ , otrzymujemy

\frac{3x^2-1}{x^2+2} =\frac{3-1/x^2}{1+2/x^2}\longrightarrow3

w obu kierunkach.

\frac{2|x|+1}{x}=2\frac{|x|}{x}+\frac1x.

Dla $x\to\infty$ mamy $|x|/x=1$ , więc granica wynosi $2$ . Dla $x\to-\infty$ mamy $|x|/x=-1$ , więc granica wynosi $-2$ .

Odpowiedź

a) $y=-2$ w $\pm\infty$ ; b) $y=3$ w $\pm\infty$ ; c) $y=2$ w $\infty$ oraz $y=-2$ w $-\infty$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem