MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 239

Do wykonania szkiców wybieramy po jednym konkretnym przedstawicielu każdej rodziny krzywych.

Konchoida Nikomedesa. Dla $a>0$, $b>0$ można użyć równania

$$(x-a)^2(x^2+y^2)=b^2x^2$$

lub równoważnego zapisu biegunowego $r=a\sec\varphi\pm b$. Prosta bazowa $x=a$ jest asymptotą. Dla przykładu $a=2$, $b=1$ rysujemy obie gałęzie oraz przerywaną prostą $x=2$.

Ofiuryda. Jedna ze standardowych postaci tej rodziny to

$$x(x^2+y^2)+(px-qy)y=0,\qquad p>0, q\ge0.$$

Po zebraniu wyrazów z $y$ otrzymujemy

$$(x-q)y^2+pxy+x^3=0.$$

Dla $|y|\to\infty$ mamy $x\to q$, więc asymptotą jest $x=q$. Można narysować przykład $p=1$, $q=2$.

Panstrofoida. Wygodna postać równania to

$$x(x^2+y^2)+g(x^2-y^2)+h^2(x+g)=0,\qquad g>0, h>0.$$

Po rozwiązaniu względem $y^2$:

$$y^2=\frac{(x+g)(x^2+h^2)}{g-x}.$$

Stąd asymptotą pionową jest $x=g$. Przykładowy szkic otrzymamy dla $g=2$, $h=1$.

Równania i nazewnictwo sprawdzono w opisach konchoidy Nikomedesa, ofiurydy oraz w historycznym opracowaniu krzywych algebraicznych.