MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 24

Dla każdego $x$ wybieramy jedyne $k\in\mathbb Z$ takie, że $x-2k\in[-1,1)$, i definiujemy $f(x)=g(x-2k)$. To daje okresowe kopie każdego z czterech wykresów bazowych.

W każdym podpunkcie ograniczamy $g(x)=|x-1|-2$ do wskazanego przedziału długości $4$, a następnie przesuwamy fragment o $(4k,0)$. Rodzaj nawiasu określa, który z dwóch końców kopii jest pełny.

Ze skanu w jednym okresie równanie $f(x)=1$ ma rozwiązania $x=1$ i $x=3$, więc na $[0,20]$ otrzymujemy wszystkie liczby nieparzyste od $1$ do $19$. Ich suma wynosi $100$.

Wartość $4$ funkcja przyjmuje dla wielokrotności $4$. Na $[0,400]$ są to $0,4,\ldots,400$, zatem suma wynosi $4(0+1+\cdots+100)=20200$.

Dla $x\in[k,k+1)$ mamy $[x]=k$, więc $f(x)=x-k$. Po przesunięciu argumentu o $1$ część ułamkowa się nie zmienia; mniejszego dodatniego okresu nie ma.

Przyjmujemy wartość $1$ w czasie świecenia i $0$ w czasie przerwy, a następnie powtarzamy jeden cykl.

a) W każdym okresie $[10k,10k+10)$ wartość $1$ trwa przez pierwsze $5$ s, a potem przez $5$ s wynosi $0$.

b) W $[12k,12k+12)$ wartość $1$ występuje na odcinkach długości $2$: $[12k,12k+2)$ i $[12k+4,12k+6)$; na pozostałych odcinkach jest $0$.