MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 238

W każdym podpunkcie licznik dąży do liczby różnej od zera albo sprowadzamy sumę do jednego ułamka. Znak mianownika po wskazanej stronie wyznacza znak granicy.

a) $1-x\to-4$, $5-x\to0^-$, zatem granica to $\infty$.

b) $x^2-3\to1$, $x-2\to0^-$, zatem granica to $-\infty$.

c) $x+3\to2$, a $(x-1)(x+1)\to0^-$, więc granica to $-\infty$.

d) $4x+1\to-3$, a $(x-2)(x+1)\to0^-$, więc granica to $\infty$.

e) $x+1\to-2$, a $(x+1)(x+3)\to0^-$, więc granica to $\infty$.

f) $x^2+x-7\to-1$, natomiast $x(2-x)\to0^+$, zatem granica to $-\infty$.

g)

$$\frac1x-\frac1{x^2}=\frac{x-1}{x^2}\longrightarrow-\infty \qquad (x\to0^+).$$

h) Dla $t=x-2\to0^-$:

$$\frac1{t^2}+\frac1t=\frac{1+t}{t^2}\longrightarrow\infty.$$

i)

$$\frac1{x^2-1}-\frac2{x+1} =\frac{3-2x}{(x-1)(x+1)}.$$

Licznik dąży do $5$, a mianownik do $0^-$, więc granica wynosi $-\infty$.

Po skróceniu wspólnych czynników odróżniamy biegun od usuwalnej nieciągłości.

a) Mianownik znika tylko dla $x=-2$, a licznik ma tam wartość $-1$, więc asymptotą jest $x=-2$.

b) Dla $x=-2$ i $x=2$ mianownik jest równy zero, a licznik nie jest zerem. Asymptoty to $x=-2$ i $x=2$.

c)

$$\frac{x-3}{x^2-9}=\frac1{x+3}\quad (x\ne3).$$

Punkt $x=3$ jest usuwalną nieciągłością, a asymptotą jest $x=-3$.

d)

$$\frac{6x+2}{1-9x^2} =\frac{2(3x+1)}{(1-3x)(1+3x)} =\frac2{1-3x}\quad\left(x\ne-\frac13\right).$$

Asymptotą jest $x=\frac13$.

e)

$$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}\quad(x\ne1).$$

Asymptotą jest $x=-1$; w $x=1$ występuje dziura.

f)

$$\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-4)}=\frac{x+2}{x-4}\quad(x\ne2).$$

Asymptotą jest $x=4$; w $x=2$ występuje dziura.

a) Dziedzina to $[0,1)\cup(1,\infty)$. Dla $x\to1$ licznik dąży do $1$, a mianownik $1-x^2$ do zera ze zmiennym znakiem, więc $x=1$ jest asymptotą pionową obustronną.

b) Warunek pod pierwiastkiem daje

$$2+x-x^2=(2-x)(x+1)\ge0,\qquad x\in[-1,2].$$

W tym przedziale mianownik $x-3$ nie znika, więc wykres nie ma asymptoty pionowej.

c) Mianownik ma postać

$$|x-3|-|x-1|= \begin{cases} 2 & \text{dla }x\le1,\\ 4-2x & \text{dla }1<x<3,\\ -2 & \text{dla }x\ge3. \end{cases}$$

Znika tylko dla $x=2$, a licznik ma wtedy wartość $2$, więc $x=2$ jest asymptotą pionową.

a) Gdy $x\to2^+$, pierwszy ułamek dąży do $\infty$, a $\frac1{x-4}\to-\frac12$. Ponieważ ten drugi ułamek jest odejmowany, zatem

$$\lim_{x\to2^+}\left(\frac{1}{(x-2)^2}-\frac{1}{x-4}\right) =\infty.$$

b) Sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika:

$$\frac{1}{(x-2)^2}-\frac{1}{(x-2)(x+2)} =\frac{4}{(x-2)^2(x+2)}.$$

Dla $x\to2^+$ mianownik dąży do $0^+$, więc granica wynosi $\infty$.