MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 237

Miejsca zerowe mianownika są kandydatami na asymptoty pionowe. W każdym z poniższych punktów licznik ma wartość różną od zera, więc granica przynajmniej z jednej strony jest niewłaściwa.

a) $x-4=0$ dla $x=4$, zatem

$$D_f=\mathbb R\setminus\{4\},\qquad x=4$$

jest asymptotą pionową.

b) $x+2=0$ dla $x=-2$, więc

$$D_f=\mathbb R\setminus\{-2\},\qquad x=-2$$

jest asymptotą pionową.

c) $x^2-9=(x-3)(x+3)$, stąd

$$D_f=\mathbb R\setminus\{-3,3\}.$$

Licznik jest niezerowy zarówno dla $x=-3$, jak i dla $x=3$, dlatego obie proste $x=-3$ i $x=3$ są asymptotami pionowymi.

a) Rozkładamy licznik i skracamy dla $x\ne\frac12$:

$$\frac{1-4x^2}{2x-1} =\frac{-(2x-1)(2x+1)}{2x-1} =-2x-1.$$

W punkcie $x=\frac12$ funkcja nie jest określona, ale jej granica jest skończona i wynosi $-2$. Wykres jest prostą $y=-2x-1$ z usuniętym punktem $\left(\frac12,-2\right)$, więc $x=\frac12$ nie jest asymptotą.

b) Dla $x\ne2$ mamy

$$\frac{x^3-6x^2+12x-8}{x-2} =\frac{(x-2)^3}{x-2} =(x-2)^2.$$

Granica w punkcie $2$ wynosi $0$. Wykres jest parabolą $y=(x-2)^2$ z usuniętym wierzchołkiem $(2,0)$, zatem $x=2$ także nie jest asymptotą pionową.