MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 235

Niech $f$ będzie określona w sąsiedztwie punktu $x_0$. Funkcja ma w tym punkcie granicę niewłaściwą $-\infty$, jeżeli dla każdego ciągu $(x_n)$ zbieżnego do $x_0$, którego wyrazy należą do dziedziny $f$ i są różne od $x_0$, zachodzi

$$f(x_n)\longrightarrow-\infty.$$

a) Mianownik $|x-1|$ jest dodatni dla $x\ne1$ i dąży do $0^+$, gdy $x\to1$. Zatem

$$\lim_{x\to1}\frac{-1}{|x-1|}=-\infty.$$

Wykres ma dwie ujemne gałęzie, asymptotę pionową $x=1$ oraz asymptotę poziomą $y=0$.

b) Analogicznie $|x+2|\to0^+$ dla $x\to-2$, więc

$$\lim_{x\to-2}\frac{-4}{|x+2|}=-\infty.$$

Asymptoty wykresu to $x=-2$ i $y=0$.