MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 234

Stosujemy podstawienie lub skrócenie właściwe dla podanej strony:

a) $\sqrt0+2=2$. b) Po skróceniu $(x+3)/[2(x-2)]\to-1/8$. c) $(1+\sqrt x)/(1-\sqrt x)\to1$. d) Dla $x<2$ mamy $|x-2|=-(x-2)$, więc granica to $-1$. e) $(x-4)/(\sqrt x-2)=\sqrt x+2\to2$. f) $(-5)/(-25)=1/5$. g) Iloraz jest rzędu $-\sqrt{-(x+3)/6}$, więc dąży do $0$. h) $1/(\sqrt0+1)=1$.

Uwzględniamy wskazaną stronę dojścia.

a) Bezpośrednio: $(0+1)/(1+1)=1/2$.

b) Bezpośrednio: $1/(0+2)=1/2$.

c) Dla $x>0$ wyrażenie jest równe $\sqrt x(x-1)$, więc granica wynosi $0$.

d) Dla $x<2$:

$$\frac{x-2}{\sqrt{(2-x)(2+x)}} =-\frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{2+x}}\longrightarrow0.$$

W każdym podpunkcie podstawiamy $-1$ do wzoru obowiązującego z odpowiedniej strony.

a) Granice lewa i prawa są równe $3$, więc granica istnieje i wynosi $3$.

b) Granica lewa wynosi $-2$, a prawa $0$, więc granica nie istnieje.

c) Granica lewa wynosi $-1$, a prawa $-2$, więc granica nie istnieje.

d) Obie granice jednostronne są równe $3$, więc granica istnieje i wynosi $3$.