MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 232

W każdym przypadku mianownik ma w punkcie granicznym wartość różną od zera, więc podstawiamy:

a) $(8+4+3)/(4-1)=5$.

b) $(1+3+8)/(-4+1)=-4$.

c) $(-1)^5/(7-9)=1/2$.

Rozkładamy liczniki i mianowniki na czynniki, a następnie skracamy czynnik zerujący się w punkcie granicznym:

a) $-x(x+3)\to-18$. b) $(x+4)/x\to2$. c) $2x-1\to-5$. d) $1/(x-1)\to-1/7$. e) $(6x-1)/(2x+1)\to1$. f) $(x-1)/(x+5)\to2/5$. g) $(x+7)/(x+1)\to-5$. h) $x(x-4)/2\to21/2$. i) $(x+8)/(x^2+x+1)\to3$.

Po uproszczeniu, z zachowaniem wykluczonych punktów:

a) $f(x)=-2$ dla $x\ne2$. Wykres to prosta $y=-2$ z dziurą w $(2,-2)$, więc granica wynosi $-2$.

b) $f(x)=x+2$ dla $x\ne2$. Wykres to prosta z dziurą w $(2,4)$, więc granica wynosi $4$.

c) $f(x)=-3/x$ dla $x\ne0,2$. Wykres hiperboli ma dodatkową dziurę w $(2,-3/2)$, więc granica w $2$ wynosi $-3/2$.

Mnożymy przez odpowiednie wyrażenie sprzężone i skracamy:

a) $1/(\sqrt x+5)\to1/10$. b) $1/(\sqrt x+2)\to1/4$. c) $-1/(1+\sqrt{3-x})\to-1/2$. d) $1/[2(\sqrt{x+4}+1)]\to1/4$. e) $(x^2+x+1)(\sqrt{x^2+3}+2)/(x+1)\to6$. f) $(x-3)(1+\sqrt{x^2-3})/(2-x)\to-5/2$.

Korzystamy z ciągłości funkcji trygonometrycznych i podstawiamy punkt graniczny:

a) $\sin\pi-\cos\pi=0-(-1)=1$.

b) $\tan(\pi/4)+6=1+6=7$.

c) $\tan^2(\pi/6)-\cot^2(\pi/6)=1/3-3=-8/3$.

Usuwamy niewymierność lub rozkładamy różnicę kwadratów.

a) $\frac{x-1}{\sqrt x-1}=\sqrt x+1\longrightarrow2.$

b)

$$\frac{\sqrt{x^2+5}-3}{x+2} =\frac{x-2}{\sqrt{x^2+5}+3} \longrightarrow-\frac23.$$

c)

$$\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}x =\frac2{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}} \longrightarrow\frac{\sqrt2}{2}.$$