MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 224

W czternastowyrazowym ciągu środkowe wyrazy to $a_7$ i $a_8$. Zatem

Ponieważ $q^6=(3/2)^3=27/8$, mamy

Cyfra jedności to $1$, a dwie pierwsze cyfry po przecinku to $77$.

Najpierw

Następnie

Ponieważ $6\sqrt2-8=0{,}48528\ldots$, trzy pierwsze cyfry po przecinku to $485$.

Usuwamy niewymierność:

Po podzieleniu licznika i mianownika przez $n$ otrzymujemy granicę

Iloraz szeregu jest równy $q=\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$, więc $|q|<1$. Zatem

Niech $a_1=a$, a różnica ciągu będzie równa $r$. Warunek sumy daje $3a+5r=27.$ Warunek geometryczności liczb $a-1,a+r-1,a+4r-4$ ma postać

Po użyciu pierwszego równania otrzymujemy $13r^2-63r+72=0,$ czyli $r=3$ lub $r=24/13$. Ponieważ wszystkie wyrazy są całkowite, druga wartość odpada. Dla $r=3$ pierwsze równanie daje $a=4$.

Oznaczmy wyrazy przez $x,y,z$. Po odjęciu $1$ od ostatniego mają tworzyć ciąg arytmetyczny, zatem $2y=x+z-1.$ Wraz z $x+y+z=7$ daje to $y=2$. Ponadto $y^2=xz$, a więc $xz=4$ i $x+z=5$. Liczby $x,z$ są pierwiastkami równania $u^2-5u+4=0$, czyli są równe $1$ i $4$ w dowolnej kolejności.

Jeśli pierwsze wyrazy to $a,aq,aq^2$, ich iloczyn wynosi $(aq)^3=2^{12}$. Stąd $aq=16$. Z warunku zbieżności $|q|<1$ oraz

otrzymujemy $q(1-q)=1/4$, czyli $q=1/2$ i $a=32$. Wyrazy o numerach nieparzystych tworzą szereg o pierwszym wyrazie $32$ i ilorazie $q^2=1/4$, zatem ich suma jest równa $\frac{32}{1-1/4}=\frac{128}{3}.$

Jest to szereg geometryczny o ilorazie $q=-\cos2x$. Warunek zbieżności ma postać $|\cos2x|<1$, a suma wynosi

Przy dodatnim mianowniku nierówność jest równoważna

Łącznie otrzymujemy $-1<\cos2x\le1/2$. Na przedziale $x\in[0,2\pi]$ daje to dwa pasma, z których trzeba usunąć punkty $x=\pi/2$ i $x=3\pi/2$, bo w nich szereg nie jest zbieżny.