MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 223

Przekształcamy $a_n=-\frac{n+3}{n+2}=-1-\frac1{n+2}.$ Zatem

$$a_{n+1}-a_n =\frac1{n+2}-\frac1{n+3} =\frac1{(n+2)(n+3)}>0.$$

Z rekurencji bezpośrednio otrzymujemy

$$a_{n+1}-a_n=n^2-n+3=n(n-1)+3.$$

Dla każdego $n\ge1$ mamy $n(n-1)\ge0$, zatem $a_{n+1}-a_n\ge3>0$.

Stosujemy wzór na sumę $n$ wyrazów ciągu geometrycznego:

$$765=9\frac{4^n-1}{4-1}=3(4^n-1).$$

Stąd $4^n-1=255$, czyli $4^n=256=4^4$.

Boki zapisujemy jako $x-r,x,x+r$. Z obwodu $3x=24$ mamy $x=8$. Przeciwprostokątną jest największy bok, więc twierdzenie Pitagorasa daje

$$(8-r)^2+8^2=(8+r)^2.$$

Po uproszczeniu $64=32r$, zatem $r=2$.

Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego o sumie $12$ zapisujemy jako $4-r,4,4+r$. Warunek dotyczący kwadratów daje

$$(4-r)^2+16+(4+r)^2=48+2r^2=56.$$

Stąd $r^2=4$, czyli $r=2$ lub $r=-2$.

Krawędzie ciągu geometrycznego zapisujemy jako $x/q,x,xq$. Ich iloczyn jest równy $x^3=64$, więc $x=4$. Z kwadratu przekątnej:

$$\left(\frac4q\right)^2+4^2+(4q)^2=84.$$

Po podzieleniu przez $16$ i oznaczeniu $t=q^2$ dostajemy $t+\frac1t=\frac{17}{4},$ czyli $4t^2-17t+4=0$. Stąd $t=4$ lub $t=1/4$; w obu przypadkach długości krawędzi to $2,4,8$ w odpowiedniej kolejności. Pole całkowite: $2(2\cdot4+4\cdot8+2\cdot8)=112\ \text{cm}^2.$

W pięciu kolejnych wyrazach wyraz środkowy jest średnią, więc $S_5=5a_3=30$ i $a_3=6$. Jeśli różnica wynosi $r>0$, to $a_2a_4=(6-r)(6+r)=36-r^2=11,$ zatem $r=5$. Stąd $a_1=6-2r=-4$ i

$$S_n=\frac n2\big(2(-4)+(n-1)5\big) =\frac{n(5n-13)}2.$$

Mamy $S_7=77\le100$, natomiast $S_8=108>100$.

Niech trzy pierwsze wyrazy będą równe $a,aq,aq^2$. Warunki zadania mają postać

$$a(1+q+q^2)=13,\qquad a(q^2-q-1)=5.$$

Po podzieleniu stronami i uproszczeniu otrzymujemy $4q^2-9q-9=0$, więc $q=3$ lub $q=-3/4$. Druga wartość daje ciąg naprzemienny, a więc niemonotoniczny. Dla $q=3$ mamy $a=1$ i $a_4=aq^3=27$.