MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 222

Podstawiamy $n=5$. Otrzymujemy kolejno $3,\qquad \frac{17}{3},\qquad \frac{45}{7},\qquad 6.$ Tylko ostatni wzór daje piąty wyraz równy $6$.

Parabola $f(x)=7x-x^2$ ma wierzchołek dla $x=3{,}5$. Dla naturalnych indeksów sprawdzamy więc $n=3$ i $n=4$: $a_3=21-9=12,\qquad a_4=28-16=12.$ Są to największe wyrazy ciągu.

Dla odpowiedzi C liczymy różnicę:

Ciąg jest więc malejący. Pozostałe propozycje odpadają: A zmienia kierunek monotoniczności, B ma $a_1=a_2$, a D jest rosnący.

Mamy $a_n=n(\sqrt2-1)$, zatem

Porównanie z $66(\sqrt2-1)$ daje $n(n+1)=132$. Dodatnim rozwiązaniem jest $n=11$.

Szukane liczby to $13,16,19,\ldots,97.$ Jest ich $\frac{97-13}{3}+1=29,$ więc ich suma wynosi $\frac{29(13+97)}2=1595.$

Ponieważ $a_4=a_2q^2=27$ i $a_2^2=9$, dodatniość $q^2$ wymusza $a_2=3$. Stąd $q^2=9$. Ciąg jest niemonotoniczny, więc $q=-3$. Zatem $a_5=27(-3)=-81,\qquad a_6=243,$ a ich suma jest równa $162$.

Z zależności $q^3=\frac{a_5}{a_2}=\frac{1/4}{2}=\frac18$ otrzymujemy $q=1/2$ i $a_1=4$. Zatem

Porównujemy wyrazy najwyższego stopnia. W C mamy

Granice w A, B i D wynoszą odpowiednio $\infty$, $0$ i $-\sqrt2$.

Jeżeli $b\ne1$, licznik i mianownik są liniowe, więc granica jest skończona i wynosi $b/(1-b)$. Dla $b=1$ mianownik jest stale równy $3$, natomiast licznik $n-6$ dąży do $\infty$. Wtedy $a_n\to\infty$.

Mamy $|2-\sqrt3|<1$, więc szereg jest zbieżny. Jego suma: