MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 220

Ze skanu wynika, że największy okrąg jest styczny do ramion kąta w punktach $A$ i $C$, a środki wszystkich okręgów leżą na dwusiecznej. Dla okręgu o promieniu $r$ odległość środka od $B$ jest $r/\sin30^\circ=2r$, a odległość punktu styczności na ramieniu od $B$ wynosi $r\cot30^\circ=r\sqrt3$. Ponieważ $AB=2\sqrt3$, największy promień ma wartość $r_1=2$.

Dla dwóch kolejnych, stycznych okręgów o promieniach $R>r$ odległość ich środków można zapisać na dwa sposoby: $2R-2r=R+r.$ Stąd $r=R/3$, więc promienie wynoszą $2,\quad\frac23,\quad\frac29,\quad\frac2{27}.$

Suma długości okręgów jest równa

$$2\pi\left(2+\frac23+\frac29+\frac2{27}\right) =\frac{160\pi}{27}\approx18{,}616>18{,}6\ \text{cm}.$$

Suma pól kół wynosi

$$\pi\left(4+\frac49+\frac4{81}+\frac4{729}\right) =\frac{3280\pi}{729}\ \text{cm}^2.$$

Jeśli $P$ jest polem największego trójkąta, to

$$P\left(1+\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}\right) =P\cdot\frac{31}{16}=31\sqrt3.$$

Zatem $P=16\sqrt3$. Dla trójkąta równobocznego o boku $a$ mamy $P=a^2\sqrt3/4$, więc $a^2=64$ i $a=8$.

Porównujemy najwyższe potęgi $n$; w d i e dzielimy licznik i mianownik przez $n$, a w h korzystamy z $\sqrt{n^4+4}=n^2\sqrt{1+4/n^4}$.

a) Dominuje $-\frac12n^4$, więc granica to $-\infty$. b) Stopień mianownika jest większy: $0$. c) Iloraz zachowuje się jak $-n^4/(2n^3)$: $-\infty$. d) Granica ilorazu $(\sqrt{6/n}-1)/(\sqrt{2/n}+1)$ to $-1$. e) Wyrażenie zachowuje się jak $0{,}3\sqrt n$: $\infty$. f) Iloraz współczynników przy $n^2$ wynosi $1/2$. g) Iloraz wyrazów wiodących $n^3/(-n^3)$ wynosi $-1$. h) Wyrażenie zachowuje się jak $n$: $\infty$.

a) Usuwamy niewymierność:

$$\sqrt n-\sqrt{n+2} =\frac{-2}{\sqrt n+\sqrt{n+2}}\longrightarrow0.$$

b) Ponieważ $\sqrt{n^2+1}>n$, mamy $\sqrt{n^2+1}-\sqrt n>n-\sqrt n$, a prawa strona dąży do $\infty$.

a) Dla niezerowego współczynnika przy $n$ w mianowniku granica wynosi $b/(b+1)$. Równanie $\frac{b}{b+1}=2$ daje $b=-2$.

b) Analogicznie $\frac{b^2}{b+4}=2,$ czyli $(b-4)(b+2)=0$. Stąd $b=4$ lub $b=-2$.

Dla $b=-2$ wzory mają pojedynczy zerowy mianownik w początkowej części, ale są określone od pewnego miejsca; pominięcie skończonej liczby wyrazów nie zmienia granicy. Wartości powodujące zanik współczynnika wiodącego, $b=-1$ w a i $b=-4$ w b, nie dają granicy równej $2$.

a) Iloraz wynosi $q=\frac{\sqrt2}{2}$, zatem $S=\frac1{1-\sqrt2/2}=2+\sqrt2.$

b) Pierwszy wyraz to $1+\sqrt3$, a iloraz $q=1/\sqrt3$. Stąd

$$S=\frac{1+\sqrt3}{1-1/\sqrt3}=3+2\sqrt3.$$

Dla okresu długości $k$ wykorzystujemy mianownik złożony z $k$ dziewiątek; w c odejmujemy część nieokresową:

a) $12/99=4/33$.

b) $342/999=38/111$.

c) $2,4(23)=2+(423-4)/990=2399/990$.

d) $3,(9)=3+9/9=4$.

Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $|q|<1$.

a) Dla $q=x/(1+x)$ nierówność $x^2<(1+x)^2$ daje $x>-\frac12$. Wtedy $f(x)=\frac1{1-x/(1+x)}=x+1.$ Wykres jest częścią prostej $y=x+1$ na prawo od pustego punktu $(-\frac12,\frac12)$.

b) Dla $q=(x-2)/(x-3)$ nierówność $(x-2)^2<(x-3)^2$ daje $x<\frac52$. Wtedy $f(x)=\frac1{1-(x-2)/(x-3)}=3-x.$ Wykres jest częścią prostej $y=3-x$ na lewo od pustego punktu $(\frac52,\frac12)$.

Za każdym razem najpierw narzucamy warunek $|q|<1$.

a) $q=3x/2$. Z równania $\frac{2/3}{1-3x/2}=2$ otrzymujemy $x=4/9$, które spełnia warunek zbieżności.

b) $q=-1/(2x)$, więc $|x|>1/2$. Równanie $\frac{x^2}{1+1/(2x)}=\frac{16}{5}$ sprowadza się do $(x-2)(5x^2+10x+4)=0$. Wszystkie trzy pierwiastki spełniają $|x|>1/2$.

c) Obie strony są tym samym wzorem na sumę szeregu o ilorazie $2x$. Równość zachodzi dokładnie dla $|2x|<1$.

d) Prawa strona ma granicę $3$, a lewa jest równa $x^2/(x^2-1)$ przy $|x|>1$. Równanie $x^2/(x^2-1)=3$ daje $x^2=3/2$; oba rozwiązania spełniają warunek zbieżności.